school
Общие знания
verified
Решено AI
Решение задачи с медианой и теоремой Менелая для 7-8 класса
help_outline
Условие задачи
Решить задачу кратко и посути, использовать теормы и правила 7-8 класса
lightbulb
Краткий ответ
На странице представлено пошаговое решение задачи по геометрии с использованием медианы и теоремы Менелая, предназначенное для учеников 7-8 класса. Найдите отношение отрезков AK/KC.
Подробное решение
Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.
Дано:
Треугольник \(ABC\).
\(AD\) - медиана.
\(BK\) - отрезок, проходящий через точку \(M\).
\(BK \cap AC = K\).
\(M\) - точка пересечения \(AD\) и \(BK\).
Найти отношение \(\frac{AK}{KC}\), если:
а) \(M\) - середина \(AD\).
б) \(\frac{AM}{MD} = \frac{1}{2}\).
Решение:
Для решения этой задачи будем использовать теорему Менелая.
Теорема Менелая:
Если прямая пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в трёх точках, то произведение отношений отрезков на сторонах равно единице.
Применим теорему Менелая к треугольнику \(ADC\) и прямой \(B-M-K\).
Прямая \(BK\) пересекает стороны треугольника \(ADC\):
- Сторону \(AD\) в точке \(M\).
- Сторону \(DC\) в точке \(B\) (продолжение стороны \(DC\) за точку \(D\)).
- Сторону \(AC\) в точке \(K\).
Однако, точка \(B\) не лежит на стороне \(DC\), а является вершиной треугольника \(ABC\). Прямая \(BK\) пересекает сторону \(AC\) в точке \(K\), сторону \(AD\) в точке \(M\). Точка \(B\) является вершиной.
Правильнее применить теорему Менелая к треугольнику \(ADC\) и секущей \(B-M-K\).
Но точка \(B\) не лежит на стороне \(DC\).
Давайте применим теорему Менелая к треугольнику \(ABK\) и секущей \(D-M-C\).
Это тоже не совсем удобно.
Давайте рассмотрим треугольник \(ABK\) и прямую \(DMC\).
Точка \(D\) лежит на продолжении \(AB\), точка \(M\) лежит на \(BK\), точка \(C\) лежит на продолжении \(AK\).
Это тоже не подходит.
Наиболее удобный способ - применить теорему Менелая к треугольнику \(ADC\) и секущей \(B-M-K\).
Точки \(K\), \(M\), \(B\) лежат на одной прямой.
Точка \(K\) лежит на стороне \(AC\).
Точка \(M\) лежит на стороне \(AD\).
Точка \(B\) лежит на продолжении стороны \(CD\) (если рассматривать \(CD\) как часть прямой \(BC\)).
Применим теорему Менелая к треугольнику \(ACK\) и прямой \(B-M-D\).
Это тоже не подходит.
Давайте применим теорему Менелая к треугольнику \(AB D\) и прямой \(K-M-C\).
Это тоже не подходит.
Наиболее подходящий способ - применить теорему Менелая к треугольнику \(ACK\) и прямой \(B-M-D\).
Точки \(B, M, D\) лежат на одной прямой.
Точка \(M\) лежит на \(AD\).
Точка \(D\) лежит на \(BC\).
Точка \(B\) лежит на \(BC\).
Давайте рассмотрим треугольник \(ADC\) и прямую \(B-M-K\).
Точки \(K, M, B\) лежат на одной прямой.
Точка \(K\) лежит на стороне \(AC\).
Точка \(M\) лежит на стороне \(AD\).
Точка \(B\) лежит на продолжении стороны \(CD\) (если рассматривать \(CD\) как часть прямой \(BC\)).
Применим теорему Менелая к треугольнику \(ADC\) и секущей \(B-M-K\).
Отношения будут следующими:
\(\frac{AK}{KC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DM}{MA} = 1\)
Поскольку \(AD\) - медиана, то \(D\) - середина \(BC\).
Значит, \(BD = DC\).
Следовательно, \(CB = 2 \cdot BD\).
Тогда \(\frac{CB}{BD} = \frac{2 \cdot BD}{BD} = 2\).
Подставим это в уравнение теоремы Менелая:
\(\frac{AK}{KC} \cdot 2 \cdot \frac{DM}{MA} = 1\)
\(\frac{AK}{KC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{MA}{DM}\)
Теперь рассмотрим каждый случай:
а) \(M\) - середина \(AD\).
Если \(M\) - середина \(AD\), то \(AM = MD\).
Следовательно, \(\frac{MA}{DM} = 1\).
Подставим это значение в формулу для \(\frac{AK}{KC}\):
\(\frac{AK}{KC} = \frac{1}{2} \cdot 1\)
\(\frac{AK}{KC} = \frac{1}{2}\)
б) \(\frac{AM}{MD} = \frac{1}{2}\).
В этом случае нам дано отношение \(\frac{AM}{MD}\).
Мы можем записать \(\frac{MA}{DM} = \frac{AM}{MD} = \frac{1}{2}\).
Подставим это значение в формулу для \(\frac{AK}{KC}\):
\(\frac{AK}{KC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\)
\(\frac{AK}{KC} = \frac{1}{4}\)
Ответ:
а) \(\frac{AK}{KC} = \frac{1}{2}\)
б) \(\frac{AK}{KC} = \frac{1}{4}\)