Решение Задачи: Подобие Треугольников

Хорошо, давайте докажем эти утверждения с помощью подобия треугольников. Для этого нам понадобится провести дополнительное построение. Дополнительное построение: Проведем прямую \(DE\) параллельно \(BK\) (или \(MK\)), где точка \(E\) лежит на стороне \(AC\). Теперь рассмотрим два случая: а) \(M\) - середина \(AD\). 1. Рассмотрим треугольник \(ADK\). В треугольнике \(ADK\) проведена прямая \(ME\) параллельно \(DK\). (Мы провели \(DE \parallel BK\), значит \(DE \parallel MK\). Рассмотрим треугольник \(ADK\). Прямая \(ME\) параллельна \(DK\). По теореме Фалеса (или по свойству средней линии, если \(M\) - середина \(AD\)), если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает две другие стороны, то она отсекает от него треугольник, подобный данному. Однако, здесь удобнее использовать теорему о пропорциональных отрезках. Если \(DE \parallel BK\), то в треугольнике \(CBK\), \(D\) - середина \(BC\), и \(DE \parallel BK\). Тогда по теореме Фалеса (или по свойству средней линии), \(E\) - середина \(CK\). Значит, \(CE = EK\). Теперь рассмотрим треугольник \(ADE\). В треугольнике \(ADE\) проведена прямая \(MK\) параллельно \(DE\). (Мы провели \(DE \parallel BK\), значит \(DE \parallel MK\)). Если \(M\) - середина \(AD\), то \(MK\) является средней линией треугольника \(ADE\). Тогда \(K\) - середина \(AE\). Значит, \(AK = KE\). У нас получилось: \(AK = KE\) \(CE = EK\) Из этих двух равенств следует, что \(AK = KE = EC\). Тогда \(AC = AK + KE + EC = AK + AK + AK = 3 \cdot AK\). \(KC = KE + EC = AK + AK = 2 \cdot AK\). Следовательно, \(\frac{AK}{KC} = \frac{AK}{2 \cdot AK} = \frac{1}{2}\). Это один из способов. Давайте попробуем другой, более прямой путь с подобием. Дополнительное построение: Проведем прямую \(DP\) параллельно \(BK\), где \(P\) лежит на \(AC\). 1. Рассмотрим треугольник \(CBK\). \(D\) - середина \(BC\) (так как \(AD\) - медиана). \(DP \parallel BK\). По теореме Фалеса (или по свойству средней линии), если через середину одной стороны треугольника провести прямую, параллельную другой стороне, то она пересечет третью сторону в ее середине. Значит, \(P\) - середина \(CK\). Следовательно, \(CP = PK\). 2. Рассмотрим треугольник \(ADP\). \(M\) - середина \(AD\) (дано в условии а)). \(MK \parallel DP\) (так как \(MK\) - часть \(BK\), а \(DP \parallel BK\)). По теореме Фалеса, если через середину одной стороны треугольника провести прямую, параллельную другой стороне, то она пересечет третью сторону в ее середине. Значит, \(K\) - середина \(AP\). Следовательно, \(AK = KP\). Теперь объединим результаты: \(AK = KP\) и \(CP = PK\). Значит, \(AK = KP = PC\). Тогда \(KC = KP + PC = AK + AK = 2 \cdot AK\). Искомое отношение: \(\frac{AK}{KC} = \frac{AK}{2 \cdot AK} = \frac{1}{2}\). б) \(\frac{AM}{MD} = \frac{1}{2}\). Дополнительное построение: Проведем прямую \(DP\) параллельно \(BK\), где \(P\) лежит на \(AC\). 1. Рассмотрим треугольник \(CBK\). \(D\) - середина \(BC\) (так как \(AD\) - медиана). \(DP \parallel BK\). По теореме Фалеса, \(P\) - середина \(CK\). Следовательно, \(CP = PK\). 2. Рассмотрим треугольник \(ADP\). Прямая \(MK\) параллельна \(DP\) (так как \(MK\) - часть \(BK\), а \(DP \parallel BK\)). Треугольник \(AMK\) подобен треугольнику \(ADP\) по двум углам (угол \(A\) общий, \(\angle AMK = \angle ADP\) как соответственные углы при параллельных прямых \(MK\) и \(DP\) и секущей \(AD\)). Из подобия треугольников \(AMK \sim ADP\) следует, что отношения соответствующих сторон равны: \(\frac{AM}{AD} = \frac{AK}{AP}\) Нам дано \(\frac{AM}{MD} = \frac{1}{2}\). Это означает, что \(AM = x\), \(MD = 2x\). Тогда \(AD = AM + MD = x + 2x = 3x\). Следовательно, \(\frac{AM}{AD} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}\). Теперь подставим это в отношение подобия: \(\frac{AK}{AP} = \frac{1}{3}\) Значит, \(AP = 3 \cdot AK\). 3. Мы знаем, что \(CP = PK\). Также \(AP = AK + KP\). Подставим \(AP = 3 \cdot AK\): \(3 \cdot AK = AK + KP\) \(2 \cdot AK = KP\) Теперь у нас есть: \(KP = 2 \cdot AK\) \(CP = PK\) Значит, \(CP = 2 \cdot AK\). Искомое отношение \(\frac{AK}{KC}\). \(KC = KP + PC\). Подставим значения \(KP\) и \(PC\): \(KC = 2 \cdot AK + 2 \cdot AK = 4 \cdot AK\). Следовательно, \(\frac{AK}{KC} = \frac{AK}{4 \cdot AK} = \frac{1}{4}\). Оба случая доказаны с помощью подобия треугольников и теоремы Фалеса (которая является следствием подобия).