Задача
Пушка массой \(M = 200\) кг стоит на горизонтальной поверхности. Из неё вылетает снаряд массой \(m = 25\) кг со скоростью \(v_с = 500\) м/с относительно земли. 1. Определите скорость отката пушки сразу после выстрела. 2. Какое расстояние пройдёт пушка после отката, если коэффициент трения скольжения между пушкой и поверхностью равен \(\mu = 0,2\)?Решение
Действие 1: Определение скорости отката пушки
Для решения этой части задачи воспользуемся законом сохранения импульса. До выстрела пушка и снаряд покоились, поэтому их суммарный импульс был равен нулю. После выстрела снаряд движется в одну сторону, а пушка откатывается в противоположную. Запишем закон сохранения импульса: \[\vec{P}_{\text{до}} = \vec{P}_{\text{после}}\] \[0 = m \vec{v}_с + M \vec{v}_п\] Выберем положительное направление оси X в сторону движения снаряда. Тогда скорость снаряда будет положительной, а скорость пушки – отрицательной. \[0 = m v_с - M v_п\] Отсюда выразим скорость отката пушки \(v_п\): \[M v_п = m v_с\] \[v_п = \frac{m v_с}{M}\] Подставим числовые значения: \[v_п = \frac{25 \text{ кг} \cdot 500 \text{ м/с}}{200 \text{ кг}}\] \[v_п = \frac{12500 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{200 \text{ кг}}\] \[v_п = 62,5 \text{ м/с}\] Скорость отката пушки составляет \(62,5\) м/с.Действие 2: Определение расстояния, которое пройдёт пушка после отката
После отката пушка начинает двигаться со скоростью \(v_п\) и останавливается из-за силы трения. Для определения пройденного расстояния воспользуемся законом сохранения энергии или формулами кинематики. Используем закон сохранения энергии: Начальная кинетическая энергия пушки переходит в работу силы трения. \[E_к = A_{\text{тр}}\] \[\frac{M v_п^2}{2} = F_{\text{тр}} \cdot S\] Сила трения \(F_{\text{тр}}\) определяется как: \[F_{\text{тр}} = \mu N\] Где \(N\) – сила нормальной реакции опоры, которая на горизонтальной поверхности равна силе тяжести пушки: \[N = M g\] Значит, сила трения: \[F_{\text{тр}} = \mu M g\] Подставим выражение для силы трения в уравнение энергии: \[\frac{M v_п^2}{2} = \mu M g S\] Масса пушки \(M\) сокращается: \[\frac{v_п^2}{2} = \mu g S\] Выразим расстояние \(S\): \[S = \frac{v_п^2}{2 \mu g}\] Примем ускорение свободного падения \(g = 9,8 \text{ м/с}^2\). Подставим числовые значения: \[S = \frac{(62,5 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 0,2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}\] \[S = \frac{3906,25 \text{ м}^2/\text{с}^2}{0,4 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}\] \[S = \frac{3906,25 \text{ м}^2/\text{с}^2}{3,92 \text{ м/с}^2}\] \[S \approx 996,49 \text{ м}\] Расстояние, которое пройдёт пушка после отката, составляет примерно \(996,49\) м.Ответ:
1. Скорость отката пушки сразу после выстрела составляет \(62,5\) м/с. 2. Пушка пройдёт расстояние примерно \(996,49\) м после отката.