Решение задачи по механике грунтов

Хорошо, давайте решим эту задачу по механике грунтов. Задача 1. К горизонтальной поверхности массива грунта в одном створе приложены три вертикальные сосредоточенные силы \(N_1\), \(N_2\), \(N_3\). Расстояние между осями действия сил \(r_1\) и \(r_2\). Определить значения вертикальных составляющих напряжений \(\sigma_z\) от совместного действия сосредоточенных сил в точках массива грунта, расположенных в плоскости действия сил: 1) по вертикали I-I, проходящей через точку приложения силы \(N_2\); 2) по горизонтали II-II, проходящей на расстоянии \(Z\) от поверхности массива грунта. Точки по вертикали расположить от поверхности на расстоянии 1,0, 2,0, 4,0, 6,0 м. Точки по горизонтали расположить вправо и влево от оси действия силы \(N_2\) на расстоянии 0, 1,0, 3,0 м. По вычисленным напряжениям и заданным осям построить эпюры распределения напряжений \(\sigma_z\). Исходные данные приведены в табл.1. Схема расчета представлена на рис.1. Таблица 1 | Вариант | \(N_1\), кН | \(N_2\), кН | \(N_3\), кН | \(r_1\), м | \(r_2\), м | \(Z\), м | |---|---|---|---|---|---|---| | 3 | 1900 | 600 | 1300 | 3,0 | 1,0 | 2,0 | Примечание. 1 тс = 9806,65 Н = 9,80665 кН \(\approx\) 10 кН --- Решение: Для определения вертикальных напряжений \(\sigma_z\) от сосредоточенной силы в грунте будем использовать формулу Буссинеска: \[ \sigma_z = \frac{3P}{2\pi} \frac{z^3}{(r^2 + z^2)^{5/2}} \] где: * \(P\) – сосредоточенная сила, кН * \(z\) – глубина от поверхности, м * \(r\) – горизонтальное расстояние от точки приложения силы до рассматриваемой точки, м Эту формулу можно переписать в более удобном виде: \[ \sigma_z = \frac{P}{z^2} K_B \] где \(K_B\) – коэффициент Буссинеска, который определяется по формуле: \[ K_B = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{( (r/z)^2 + 1 )^{5/2}} \] или по таблицам в зависимости от отношения \(r/z\). В нашем случае, для совместного действия нескольких сил, вертикальное напряжение в любой точке будет суммой напряжений от каждой силы: \[ \sigma_z = \sigma_{z1} + \sigma_{z2} + \sigma_{z3} \] Исходные данные для варианта 3: \(N_1 = 1900\) кН \(N_2 = 600\) кН \(N_3 = 1300\) кН \(r_1 = 3,0\) м (расстояние от \(N_1\) до \(N_2\)) \(r_2 = 1,0\) м (расстояние от \(N_2\) до \(N_3\)) \(Z = 2,0\) м (глубина горизонтали II-II) --- Часть 1. Определение напряжений по вертикали I-I (проходящей через точку приложения силы \(N_2\)). Для точек на вертикали I-I горизонтальное расстояние от силы \(N_2\) до рассматриваемой точки равно 0 (\(r_2 = 0\)). Горизонтальное расстояние от силы \(N_1\) до вертикали I-I равно \(r_1 = 3,0\) м. Горизонтальное расстояние от силы \(N_3\) до вертикали I-I равно \(r_2 = 1,0\) м. Рассматриваемые глубины \(z\): 1,0 м, 2,0 м, 4,0 м, 6,0 м. Расчеты для каждой глубины: 1. **При \(z = 1,0\) м:** * От силы \(N_1\): \(r/z = 3,0 / 1,0 = 3,0\) \(K_B = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{( (3,0)^2 + 1 )^{5/2}} = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{(9+1)^{5/2}} = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{10^{2,5}} = \frac{3}{2\pi \cdot 316,227} \approx 0,0015\) \(\sigma_{z1} = \frac{N_1}{z^2} K_B = \frac{1900}{1,0^2} \cdot 0,0015 = 1900 \cdot 0,0015 = 2,85\) кПа * От силы \(N_2\): \(r/z = 0 / 1,0 = 0\) \(K_B = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{( (0)^2 + 1 )^{5/2}} = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{1^{5/2}} = \frac{3}{2\pi} \approx 0,4775\) \(\sigma_{z2} = \frac{N_2}{z^2} K_B = \frac{600}{1,0^2} \cdot 0,4775 = 600 \cdot 0,4775 = 286,5\) кПа * От силы \(N_3\): \(r/z = 1,0 / 1,0 = 1,0\) \(K_B = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{( (1,0)^2 + 1 )^{5/2}} = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{(1+1)^{5/2}} = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{2^{2,5}} = \frac{3}{2\pi \cdot 5,657} \approx 0,0844\) \(\sigma_{z3} = \frac{N_3}{z^2} K_B = \frac{1300}{1,0^2} \cdot 0,0844 = 1300 \cdot 0,0844 = 109,72\) кПа * Суммарное напряжение: \(\sigma_z = \sigma_{z1} + \sigma_{z2} + \sigma_{z3} = 2,85 + 286,5 + 109,72 = 399,07\) кПа 2. **При \(z = 2,0\) м:** * От силы \(N_1\): \(r/z = 3,0 / 2,0 = 1,5\) \(K_B = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{( (1,5)^2 + 1 )^{5/2}} = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{(2,25+1)^{5/2}} = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{3,25^{2,5}} = \frac{3}{2\pi \cdot 18,60} \approx 0,0256\) \(\sigma_{z1} = \frac{1900}{2,0^2} \cdot 0,0256 = \frac{1900}{4} \cdot 0,0256 = 475 \cdot 0,0256 = 12,16\) кПа * От силы \(N_2\): \(r/z = 0 / 2,0 = 0\) \(K_B = 0,4775\) (как и ранее) \(\sigma_{z2} = \frac{600}{2,0^2} \cdot 0,4775 = \frac{600}{4} \cdot 0,4775 = 150 \cdot 0,4775 = 71,625\) кПа * От силы \(N_3\): \(r/z = 1,0 / 2,0 = 0,5\) \(K_B = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{( (0,5)^2 + 1 )^{5/2}} = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{(0,25+1)^{5/2}} = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{1,25^{2,5}} = \frac{3}{2\pi \cdot 1,758} \approx 0,2718\) \(\sigma_{z3} = \frac{1300}{2,0^2} \cdot 0,2718 = \frac{1300}{4} \cdot 0,2718 = 325 \cdot 0,2718 = 88,335\) кПа * Суммарное напряжение: \(\sigma_z = 12,16 + 71,625 + 88,335 = 172,12\) кПа 3. **При \(z = 4,0\) м:** * От силы \(N_1\): \(r/z = 3,0 / 4,0 = 0,75\) \(K_B = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{( (0,75)^2 + 1 )^{5/2}} = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{(0,5625+1)^{5/2}} = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{1,5625^{2,5}} = \frac{3}{2\pi \cdot 3,076} \approx 0,155\) \(\sigma_{z1} = \frac{1900}{4,0^2} \cdot 0,155 = \frac{1900}{16} \cdot 0,155 = 118,75 \cdot 0,155 = 18,406\) кПа * От силы \(N_2\): \(r/z = 0 / 4,0 = 0\) \(K_B = 0,4775\) \(\sigma_{z2} = \frac{600}{4,0^2} \cdot 0,4775 = \frac{600}{16} \cdot 0,4775 = 37,5 \cdot 0,4775 = 17,906\) кПа * От силы \(N_3\): \(r/z = 1,0 / 4,0 = 0,25\) \(K_B = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{( (0,25)^2 + 1 )^{5/2}} = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{(0,0625+1)^{5/2}} = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{1,0625^{2,5}} = \frac{3}{2\pi \cdot 1,135} \approx 0,421\) \(\sigma_{z3} = \frac{1300}{4,0^2} \cdot 0,421 = \frac{1300}{16} \cdot 0,421 = 81,25 \cdot 0,421 = 34,231\) кПа * Суммарное напряжение: \(\sigma_z = 18,406 + 17,906 + 34,231 = 70,543\) кПа 4. **При \(z = 6,0\) м:** * От силы \(N_1\): \(r/z = 3,0 / 6,0 = 0,5\) \(K_B = 0,2718\) (как и ранее для \(N_3\) при \(z=2,0\)) \(\sigma_{z1} = \frac{1900}{6,0^2} \cdot 0,2718 = \frac{1900}{36} \cdot 0,2718 = 52,778 \cdot 0,2718 = 14,355\) кПа * От силы \(N_2\): \(r/z = 0 / 6,0 = 0\) \(K_B = 0,4775\) \(\sigma_{z2} = \frac{600}{6,0^2} \cdot 0,4775 = \frac{600}{36} \cdot 0,4775 = 16,667 \cdot 0,4775 = 7,958\) кПа * От силы \(N_3\): \(r/z = 1,0 / 6,0 = 0,167\) \(K_B = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{( (0,167)^2 + 1 )^{5/2}} = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{(0,0279+1)^{5/2}} = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{1,0279^{2,5}} = \frac{3}{2\pi \cdot 1,070} \approx 0,446\) \(\sigma_{z3} = \frac{1300}{6,0^2} \cdot 0,446 = \frac{1300}{36} \cdot 0,446 = 36,111 \cdot 0,446 = 16,105\) кПа * Суммарное напряжение: \(\sigma_z = 14,355 + 7,958 + 16,105 = 38,418\) кПа Таблица результатов для вертикали I-I: | \(z\), м | \(\sigma_{z1}\), кПа | \(\sigma_{z2}\), кПа | \(\sigma_{z3}\), кПа | \(\sigma_z\), кПа | |---|---|---|---|---| | 1,0 | 2,85 | 286,5 | 109,72 | 399,07 | | 2,0 | 12,16 | 71,625 | 88,335 | 172,12 | | 4,0 | 18,406 | 17,906 | 34,231 | 70,543 | | 6,0 | 14,355 | 7,958 | 16,105 | 38,418 | --- Часть 2. Определение напряжений по горизонтали II-II (на глубине \(Z = 2,0\) м). Рассматриваемые горизонтальные расстояния \(x\) от оси действия силы \(N_2\): 0 м, 1,0 м, 3,0 м. Глубина \(z = 2,0\) м. Положение сил относительно оси \(N_2\): * Сила \(N_1\) находится на расстоянии \(r_1 = 3,0\) м влево от \(N_2\). * Сила \(N_3\) находится на расстоянии \(r_2 = 1,0\) м вправо от \(N_2\). Расчеты для каждой точки на горизонтали II-II: 1. **При \(x = 0\) м (под силой \(N_2\)):** * От силы \(N_1\): Горизонтальное расстояние до \(N_1\) равно \(r = 3,0\) м. \(r/z = 3,0 / 2,0 = 1,5\) \(K_B = 0,0256\) (как и ранее) \(\sigma_{z1} = \frac{1900}{2,0^2} \cdot 0,0256 = 12,16\) кПа * От силы \(N_2\): Горизонтальное расстояние до \(N_2\) равно \(r = 0\) м. \(r/z = 0 / 2,0 = 0\) \(K_B = 0,4775\)