Решение задачи по механике грунтов: расчет напряжений σz

Хорошо, давайте решим эту задачу по механике грунтов. Задача 2. Горизонтальная поверхность массива грунта по прямоугольным плитам с размерами в плане \(l_1 \times b_1\) и \(l_2 \times b_2\) нагружена равномерно распределенной вертикальной нагрузкой интенсивностью \(N_1\) и \(N_2\). Определить значения вертикальных составляющих напряжений \(\sigma_z\) от совместного действия внешних нагрузок в точках массива грунта для заданной вертикали, проходящей через одну из точек \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) на плите № 1. Расстояние между осями плит нагружения \(L\). Точки по вертикали расположить от поверхности на расстоянии 1.0, 2.0, 4.0 и 6.0. По вычисленным напряжениям построить эпюру распределения \(\sigma_z\). Исходные данные приведены в табл. 2. Схема к расчету представлена на рис. 2. Исходные данные (Вариант 3): \(l_1 = 2.9\) м \(b_1 = 2.6\) м \(l_2 = 3.5\) м \(b_2 = 2.5\) м \(N_1 = 0.32\) МПа \(N_2 = 0.29\) МПа \(L = 3.5\) м Расчетная вертикаль: \(M_3\) Расстояния по вертикали (глубины): \(z_1 = 1.0\) м \(z_2 = 2.0\) м \(z_3 = 4.0\) м \(z_4 = 6.0\) м Для решения задачи будем использовать метод угловых точек (или метод Буссинеска для равномерно распределенной нагрузки на прямоугольной площади). Вертикальное напряжение \(\sigma_z\) под углом прямоугольной площади, нагруженной равномерной нагрузкой \(N\), на глубине \(z\) определяется по формуле: \[ \sigma_z = N \cdot K \] где \(K\) - коэффициент, зависящий от относительных размеров площади и глубины. Коэффициент \(K\) можно найти по таблицам или формулам. Для удобства расчетов, особенно для школьника, можно использовать формулу: \[ K = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{2mn\sqrt{1+m^2+n^2}}{(1+m^2)(1+n^2)+m^2n^2} \frac{1+m^2+n^2}{1+m^2+n^2} + \arctan\left(\frac{2mn\sqrt{1+m^2+n^2}}{1+m^2-n^2-m^2n^2}\right) \right] \] где \(m = \frac{l}{z}\) и \(n = \frac{b}{z}\) (или наоборот, так как формула симметрична относительно \(m\) и \(n\)). Однако, эта формула достаточно сложна для ручного расчета. Обычно в учебных целях используют таблицы или более простые формулы для частных случаев или метод угловых точек. Метод угловых точек: Для определения напряжения в произвольной точке \(M\) от равномерно распределенной нагрузки на прямоугольной площадке, мы разбиваем эту площадку на несколько прямоугольников так, чтобы точка \(M\) оказалась углом каждого из них. Затем суммируем или вычитаем напряжения от каждого такого прямоугольника. В нашем случае, точка \(M_3\) находится на краю плиты №1. Сначала определим координаты точки \(M_3\) относительно центра плиты №1. Из рисунка видно, что точка \(M_3\) находится на расстоянии \(0.5b_1\) от центра по оси \(x\) и \(0.5a_1\) от центра по оси \(y\). Плита №1 имеет размеры \(l_1 \times b_1\). Плита №2 имеет размеры \(l_2 \times b_2\). Расчет напряжений от плиты №1: Точка \(M_3\) находится на краю плиты №1. Чтобы применить метод угловых точек, мы можем рассмотреть плиту №1 как один прямоугольник, для которого \(M_3\) является углом. Для плиты №1, размеры \(l_1 = 2.9\) м, \(b_1 = 2.6\) м. Точка \(M_3\) находится на расстоянии \(0.5b_1\) от центра по оси \(x\) и \(0.5a_1\) от центра по оси \(y\). Из рисунка видно, что \(a_1 = l_1\). То есть, точка \(M_3\) находится на расстоянии \(0.5l_1\) от центра по оси \(y\). Таким образом, для расчета напряжения под точкой \(M_3\) от плиты №1, мы можем рассмотреть прямоугольник с размерами \(l_1 \times b_1\), где точка \(M_3\) является углом. Однако, на рисунке показано, что точка \(M_3\) находится на расстоянии \(0.5b_1\) от центра по одной оси и \(0.5a_1\) от центра по другой оси. Давайте уточним положение \(M_3\). На рисунке \(M_3\) находится на пересечении линии, отстоящей на \(0.5b_1\) от центральной оси по горизонтали, и линии, отстоящей на \(0.5a_1\) от центральной оси по вертикали. Если плита №1 имеет размеры \(l_1 \times b_1\), то ее центр находится в точке \((l_1/2, b_1/2)\). Точка \(M_3\) находится на расстоянии \(0.5b_1\) от центра по оси \(x\) и \(0.5a_1\) от центра по оси \(y\). Из рисунка видно, что \(a_1\) - это полная длина плиты, то есть \(a_1 = l_1\). Значит, точка \(M_3\) находится на расстоянии \(0.5b_1\) от центра по ширине и \(0.5l_1\) от центра по длине. Это означает, что точка \(M_3\) находится в углу плиты. Для расчета напряжения под углом прямоугольника, мы используем формулу: \[ \sigma_z = N_1 \cdot K(m, n) \] где \(m = \frac{l_1}{z}\) и \(n = \frac{b_1}{z}\). Расчет напряжений от плиты №2: Плита №2 имеет размеры \(l_2 \times b_2\). Расстояние между осями плит \(L = 3.5\) м. Ось плиты №1 проходит через ее центр. Ось плиты №2 также проходит через ее центр. Расстояние от центра плиты №1 до центра плиты №2 по горизонтали равно \(L\). Точка \(M_3\) находится на расстоянии \(0.5b_1\) от центра плиты №1 по горизонтали. Значит, расстояние от точки \(M_3\) до центра плиты №2 по горизонтали будет \(L - 0.5b_1\). По вертикали точка \(M_3\) находится на расстоянии \(0.5l_1\) от центра плиты №1. Для расчета напряжения от плиты №2 в точке \(M_3\), мы должны разбить плиту №2 на четыре прямоугольника, так чтобы точка \(M_3\) была углом каждого из них. Это будет сложный расчет. Проще использовать принцип суперпозиции и метод угловых точек. Давайте упростим. Для точки \(M_3\) на краю плиты №1, мы можем рассмотреть плиту №1 как один прямоугольник, для которого \(M_3\) является углом. Для плиты №2, мы должны определить относительное положение точки \(M_3\) к плите №2. Координаты точки \(M_3\) относительно левого нижнего угла плиты №1: \((b_1, l_1)\). Координаты центра плиты №1: \((b_1/2, l_1/2)\). Координаты точки \(M_3\) относительно центра плиты №1: \((b_1/2, l_1/2)\). На рисунке \(M_3\) находится в правом верхнем углу плиты №1. Значит, для плиты №1, мы используем \(l_1\) и \(b_1\) как размеры прямоугольника, и \(M_3\) является его углом. Для плиты №2, нам нужно определить расстояния от точки \(M_3\) до углов плиты №2. Пусть начало координат находится в левом нижнем углу плиты №1. Тогда координаты углов плиты №1: \((0,0), (b_1,0), (0,l_1), (b_1,l_1)\). Точка \(M_3\) имеет координаты \((b_1, l_1)\). Центр плиты №1: \((b_1/2, l_1/2)\). Центр плиты №2: \((b_1/2 + L, l_1/2)\). Углы плиты №2: Левый нижний: \((b_1/2 + L - b_2/2, l_1/2 - l_2/2)\) Правый нижний: \((b_1/2 + L + b_2/2, l_1/2 - l_2/2)\) Левый верхний: \((b_1/2 + L - b_2/2, l_1/2 + l_2/2)\) Правый верхний: \((b_1/2 + L + b_2/2, l_1/2 + l_2/2)\) Теперь определим относительные координаты точки \(M_3\) к плите №2. Расстояние от \(M_3\) до левого края плиты №2: \(x_1 = (b_1/2 + L - b_2/2) - b_1 = L - b_1/2 - b_2/2\). Расстояние от \(M_3\) до правого края плиты №2: \(x_2 = (b_1/2 + L + b_2/2) - b_1 = L - b_1/2 + b_2/2\). Расстояние от \(M_3\) до нижнего края плиты №2: \(y_1 = (l_1/2 - l_2/2) - l_1 = -l_1/2 - l_2/2\). (Это означает, что \(M_3\) выше нижнего края плиты №2) Расстояние от \(M_3\) до верхнего края плиты №2: \(y_2 = (l_1/2 + l_2/2) - l_1 = -l_1/2 + l_2/2\). (Это означает, что \(M_3\) выше верхнего края плиты №2) Это не самый удобный способ. Давайте использовать метод угловых точек, где точка \(M\) находится вне прямоугольника. Для этого мы представляем напряжение в точке \(M\) как сумму или разность напряжений от нескольких прямоугольников, для которых \(M\) является углом. Для точки \(M_3\) (правый верхний угол плиты №1): Напряжение от плиты №1: \[ \sigma_{z1} = N_1 \cdot K\left(\frac{l_1}{z}, \frac{b_1}{z}\right) \] Напряжение от плиты №2: Точка \(M_3\) находится справа от плиты №1. Плита №2 находится справа от плиты №1. Расстояние от правого края плиты №1 до левого края плиты №2: \(L_{gap} = L - (b_1/2 + b_2/2)\). Если \(L\) - расстояние между осями, то расстояние между правым краем плиты №1 и левым краем плиты №2 будет: \(L_{gap} = L - b_1/2 - b_2/2\). По вертикали, центры плит находятся на одной линии. Точка \(M_3\) находится на расстоянии \(l_1/2\) от центра плиты №1 по вертикали. Центр плиты №2 находится на расстоянии \(l_2/2\) от ее верхнего и нижнего края. Значит, точка \(M_3\) находится на расстоянии \(l_1/2 - l_2/2\) от центра плиты №2 по вертикали. Давайте используем более наглядный подход. Рассмотрим точку \(M_3\) как начало координат для определения относительных размеров прямоугольников. Для плиты №1: Точка \(M_3\) является углом плиты №1. Размеры прямоугольника: \(l_1\) и \(b_1\). \[ \sigma_{z1}(M_3) = N_1 \cdot K\left(\frac{l_1}{z}, \frac{b_1}{z}\right) \] Для плиты №2: Точка \(M_3\) находится вне плиты №2. Мы можем представить напряжение от плиты №2 в точке \(M_3\) как: \(\sigma_{z2}(M_3) = N_2 \cdot [K(m_A, n_A) - K(m_B, n_B) - K(m_C, n_C) + K(m_D, n_D)]\) Это если точка \(M_3\) находится в области, где нужно вычитать. Давайте определим координаты углов плиты №2 относительно точки \(M_3\). Пусть \(M_3\) - это \((0,0)\). Тогда правый нижний угол плиты №1 будет \((-b_1, -l_1)\). Центр плиты №1: \((-b_1/2, -l_1/2)\). Центр плиты №2: \((L - b_1/2 - b_2/2, -l_1/2)\). Это неверно. Расстояние \(L\) дано между осями. Если ось плиты №1 проходит через ее центр, и ось плиты №2 проходит через ее центр. Координаты центра плиты №1: \((x_{c1}, y_{c1})\). Координаты центра плиты №2: \((x_{c1} + L, y_{c1})\). Точка \(M_3\) находится в правом верхнем углу плиты №1. Координаты \(M_3\): \((x_{c1} + b_1/2, y_{c1} + l_1/2)\). Теперь определим размеры прямоугольников для плиты №2 относительно точки \(M_3\). Пусть \(M_3\) - это точка, для которой мы считаем напряжение. Мы должны рассмотреть четыре прямоугольника, для которых \(M_3\) является углом. Плита №2 имеет размеры \(l_2 \times b_2\). Расстояние от \(M_3\) до левого края плиты №2: \(x_A = (x_{c1} + L - b_2/2) - (x_{c1} + b_1/2) = L - b_2/2 - b_1/2\). Расстояние от \(M_3\) до правого края плиты №2: \(x_B = (x_{c1} + L + b_2/2) - (x_{c1} + b_1/2) = L + b_2/2 - b_1/2\). Расстояние от \(M_3\) до нижнего края плиты №2: \(y_A = (y_{c1} + l_2/2) - (y_{c1} + l_1/2) = l_2/2 - l_1/2\). Расстояние от \(M_3\) до верхнего края плиты №2: \(y_B = (y_{c1} - l_2/2) - (y_{c1} + l_1/2) = -l_2/2 - l_1/2\). Это означает, что точка \(M_3\) находится выше плиты №2 по вертикали. Это неверно. На рисунке плиты расположены на одной горизонтальной линии. Значит, \(y_{c1}\) для обеих плит одинаков. Точка \(M_3\) находится на расстоянии \(0.5l_1\) от центральной оси плиты №1. Плита №2 имеет длину \(l_2\). Значит, точка \(M_3\) находится на расстоянии \(0.5l_1\) от центральной оси плиты №2. То есть, по вертикали, точка \(M_3\) находится на расстоянии \(0.5l_1\) от центральной оси плиты №2. По горизонтали, расстояние от центра плиты №1 до центра плиты №2 равно \(L\). Точка \(M_3\) находится на расстоянии \(0.5b_1\) от центра плиты №1. Значит, расстояние от точки \(M_3\) до центра плиты №2 по горизонтали равно \(L - 0.5b_1\). Давайте переформулируем. Для расчета напряжения в точке \(M_3\) от плиты №2, мы должны рассмотреть четыре прямоугольника, для которых \(M_3\) является углом. Пусть \(M_3\) - это точка \((0,0)\). Тогда плита №2 будет находиться в области, где \(x\) и \(y\) положительны. Расстояние от \(M_3\) до левого края плиты №2: \(x_1 = L - 0.5b_1 - 0.5b_2\). Расстояние от \(M_3\) до правого края плиты №2: