Подробное решение задачи о движении, ускорении и реакциях

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. --- Страница 65, Вариант 13 Дано: \(P_1 = P_4 = P\) \(P_2 = 3P\) \(P_3 = 2P\) \(M = 5Pr\) \(I_2 = m_2 R_2^2 / 2\) (момент инерции сплошного диска) \(R_2 = 3r\), \(r_2 = 2r\) (радиусы тела 2) \(R_3 = 2r\) (радиус тела 3) Найти: \(a_{C2}\) - ускорение центра масс тела 2 \(X_3, Y_3\) - динамические реакции на оси тела 3 --- Решение: 1. Определим массы тел: \(m_1 = P_1 / g = P / g\) \(m_2 = P_2 / g = 3P / g\) \(m_3 = P_3 / g = 2P / g\) \(m_4 = P_4 / g = P / g\) 2. Определим момент инерции тела 2: \(I_2 = m_2 R_2^2 / 2 = (3P / g) (3r)^2 / 2 = (3P / g) (9r^2) / 2 = 27Pr^2 / (2g)\) 3. Определим момент инерции тела 3 (сплошной диск): \(I_3 = m_3 R_3^2 / 2 = (2P / g) (2r)^2 / 2 = (2P / g) (4r^2) / 2 = 4Pr^2 / g\) 4. Направление движения и ускорения: Предположим, что тело 1 движется вниз, а тело 4 движется вверх. Тогда тело 2 вращается по часовой стрелке, а тело 3 вращается против часовой стрелки. Ускорение тела 1: \(a_1\) (вниз) Ускорение тела 4: \(a_4\) (вверх) Ускорение центра масс тела 2: \(a_{C2}\) (вправо) Угловое ускорение тела 2: \(\varepsilon_2\) (по часовой стрелке) Угловое ускорение тела 3: \(\varepsilon_3\) (против часовой стрелки) 5. Кинематические связи: Трос, соединяющий тело 1 и тело 2, нерастяжим. \(a_1 = \varepsilon_2 R_2 = \varepsilon_2 (3r)\) Трос, соединяющий тело 2 и тело 4, нерастяжим. \(a_4 = \varepsilon_2 r_2 = \varepsilon_2 (2r)\) Трос, соединяющий тело 2 и тело 3, нерастяжим. Скорость точки на ободе тела 2, где прикреплен трос к телу 3, равна скорости точки на ободе тела 3. \(v_{2,обод} = v_{3,обод}\) \(\varepsilon_2 R_2 = \varepsilon_3 R_3\) \(\varepsilon_2 (3r) = \varepsilon_3 (2r)\) \(\varepsilon_3 = (3/2) \varepsilon_2\) Ускорение центра масс тела 2: \(a_{C2}\) (поскольку тело 2 катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности) \(a_{C2} = \varepsilon_2 R_2 = \varepsilon_2 (3r)\) 6. Уравнения движения: Для тела 1 (движение вниз): \(m_1 a_1 = P_1 - T_1\) \((P/g) a_1 = P - T_1\) (1) Для тела 4 (движение вверх): \(m_4 a_4 = T_4 - P_4\) \((P/g) a_4 = T_4 - P\) (2) Для тела 2 (плоское движение): Уравнение движения центра масс: \(m_2 a_{C2} = T_1 - T_4 - F_{тр2}\) \((3P/g) a_{C2} = T_1 - T_4 - F_{тр2}\) (3) Уравнение вращения вокруг центра масс: \(I_2 \varepsilon_2 = T_1 R_2 - T_4 r_2 - M - F_{тр2} R_2\) \((27Pr^2 / (2g)) \varepsilon_2 = T_1 (3r) - T_4 (2r) - 5Pr - F_{тр2} (3r)\) (4) Для тела 3 (вращение вокруг неподвижной оси): \(I_3 \varepsilon_3 = T_3 R_3\) \((4Pr^2 / g) \varepsilon_3 = T_3 (2r)\) (5) Из кинематических связей: \(a_1 = a_{C2}\) \(a_4 = (2/3) a_{C2}\) \(\varepsilon_2 = a_{C2} / (3r)\) \(\varepsilon_3 = (3/2) \varepsilon_2 = (3/2) (a_{C2} / (3r)) = a_{C2} / (2r)\) 7. Подставим кинематические связи в уравнения движения: Из (1): \(T_1 = P - (P/g) a_{C2}\) Из (2): \(T_4 = P + (P/g) a_4 = P + (P/g) (2/3) a_{C2}\) Из (5): \((4Pr^2 / g) (a_{C2} / (2r)) = T_3 (2r)\) \((2Pr / g) a_{C2} = 2r T_3\) \(T_3 = (P/g) a_{C2}\) Теперь подставим \(T_1\) и \(T_4\) в (3) и (4). Уравнение (3) (движение центра масс тела 2): \((3P/g) a_{C2} = (P - (P/g) a_{C2}) - (P + (2P/(3g)) a_{C2}) - F_{тр2}\) \((3P/g) a_{C2} = P - (P/g) a_{C2} - P - (2P/(3g)) a_{C2} - F_{тр2}\) \((3P/g) a_{C2} = -(P/g) a_{C2} - (2P/(3g)) a_{C2} - F_{тр2}\) \((3P/g) a_{C2} + (P/g) a_{C2} + (2P/(3g)) a_{C2} = -F_{тр2}\) \(( (9P+3P+2P) / (3g) ) a_{C2} = -F_{тр2}\) \((14P / (3g)) a_{C2} = -F_{тр2}\) \(F_{тр2} = -(14P / (3g)) a_{C2}\) Уравнение (4) (вращение тела 2): \((27Pr^2 / (2g)) (a_{C2} / (3r)) = (P - (P/g) a_{C2}) (3r) - (P + (2P/(3g)) a_{C2}) (2r) - 5Pr - (-(14P / (3g)) a_{C2}) (3r)\) \((9Pr / (2g)) a_{C2} = 3Pr - (3Pr/g) a_{C2} - 2Pr - (4Pr/(3g)) a_{C2} - 5Pr + (14Pr/g) a_{C2}\) \((9Pr / (2g)) a_{C2} = (3Pr - 2Pr - 5Pr) + ((-3Pr/g) - (4Pr/(3g)) + (14Pr/g)) a_{C2}\) \((9Pr / (2g)) a_{C2} = -4Pr + ((-9Pr - 4Pr + 42Pr) / (3g)) a_{C2}\) \((9Pr / (2g)) a_{C2} = -4Pr + (29Pr / (3g)) a_{C2}\) Разделим все на \(Pr\): \((9 / (2g)) a_{C2} = -4 + (29 / (3g)) a_{C2}\) \((9 / (2g)) a_{C2} - (29 / (3g)) a_{C2} = -4\) \(( (27 - 58) / (6g) ) a_{C2} = -4\) \((-31 / (6g)) a_{C2} = -4\) \(a_{C2} = 24g / 31\) Итак, ускорение центра масс тела 2: \[a_{C2} = \frac{24g}{31}\] Направление: вправо. 8. Найдем динамические реакции на оси тела 3 (\(X_3, Y_3\)): Для тела 3, вращающегося вокруг неподвижной оси, уравнения движения: \(\sum F_x = m_3 a_{C3x}\) \(\sum F_y = m_3 a_{C3y}\) \(\sum M_z = I_3 \varepsilon_3\) Поскольку ось вращения тела 3 неподвижна, \(a_{C3x} = 0\) и \(a_{C3y} = 0\). Силы, действующие на тело 3: - Сила тяжести \(P_3 = m_3 g\) (вниз) - Натяжение троса \(T_3\) (вправо) - Реакции оси \(X_3\) (горизонтальная) и \(Y_3\) (вертикальная) Уравнения равновесия сил: По оси X: \(X_3 - T_3 = 0 \Rightarrow X_3 = T_3\) По оси Y: \(Y_3 - P_3 = 0 \Rightarrow Y_3 = P_3\) Мы уже нашли \(T_3 = (P/g) a_{C2}\). Подставим значение \(a_{C2}\): \(T_3 = (P/g) (24g / 31) = 24P / 31\) Тогда: \[X_3 = T_3 = \frac{24P}{31}\] Направление: вправо. \[Y_3 = P_3 = 2P\] Направление: вверх. --- Ответ: Ускорение центра масс тела 2: \[a_{C2} = \frac{24g}{31}\] Направление: вправо. Динамические реакции на оси тела 3: \[X_3 = \frac{24P}{31}\] Направление: вправо. \[Y_3 = 2P\] Направление: вверх.