Решение задачи по Динамике: Анализ Движения и Сил

Хорошо, давайте решим эту задачу, подробно объясняя направления всех сил, скоростей, ускорений и масс. --- Страница 65, Вариант 13 Задача № 2. Применив метод динамического расчета механической системы, найти ускорение центра масс тела 2, совершающего плоскопараллельное движение, и динамические реакции, действующие на оси вращающегося тела 3. Дано: \(P_1 = P_4 = P\) (Вес тела 1 и тела 4) \(P_2 = 3P\) (Вес тела 2) \(P_3 = 2P\) (Вес тела 3) \(M = 5Pr\) (Внешний момент силы, приложенный к телу 3) \(i_2 = r\sqrt{2}\) (Радиус инерции тела 2) \(R_2 = 3r\) (Внешний радиус тела 2) \(r_2 = 2r\) (Внутренний радиус тела 2) \(R_3 = 2r\) (Радиус тела 3) Найти: \(a_{C2}\) - ускорение центра масс тела 2 \(X_3, Y_3\) - динамические реакции на оси тела 3 --- Решение: 1. Определение масс тел: Масса тела определяется как его вес, деленный на ускорение свободного падения \(g\). \(m_1 = P_1 / g = P / g\) \(m_2 = P_2 / g = 3P / g\) \(m_3 = P_3 / g = 2P / g\) \(m_4 = P_4 / g = P / g\) 2. Определение моментов инерции тел: Момент инерции тела 2: Дано радиус инерции \(i_2 = r\sqrt{2}\). Момент инерции \(I_2\) относительно центра масс \(C\) определяется как \(I_2 = m_2 i_2^2\). \(I_2 = (3P / g) (r\sqrt{2})^2 = (3P / g) (2r^2) = 6Pr^2 / g\) Момент инерции тела 3: Тело 3 - это диск, вращающийся вокруг своей оси. Момент инерции \(I_3\) относительно оси вращения определяется как \(I_3 = m_3 R_3^2 / 2\) (для сплошного диска). \(I_3 = (2P / g) (2r)^2 / 2 = (2P / g) (4r^2) / 2 = 4Pr^2 / g\) 3. Предполагаемые направления движения, скоростей и ускорений: Для решения задачи методом динамики, сначала нужно предположить направление движения системы. Если в итоге ускорения окажутся отрицательными, это будет означать, что реальное направление противоположно предположенному. Предположим, что внешний момент \(M\) вращает тело 3 против часовой стрелки. - Тело 3 вращается против часовой стрелки с угловой скоростью \(\omega_3\) и угловым ускорением \(\varepsilon_3\). - Трос, соединяющий тело 2 и тело 3, натягивается, и тело 2 начинает двигаться вправо. - Тело 2 катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Его центр масс \(C\) движется вправо со скоростью \(v_{C2}\) и ускорением \(a_{C2}\). Тело 2 вращается по часовой стрелке с угловой скоростью \(\omega_2\) и угловым ускорением \(\varepsilon_2\). - Трос, соединяющий тело 1 с внешним ободом тела 2, натягивается, и тело 1 движется вниз со скоростью \(v_1\) и ускорением \(a_1\). - Трос, соединяющий тело 4 с внутренним ободом тела 2, натягивается, и тело 4 движется вверх со скоростью \(v_4\) и ускорением \(a_4\). 4. Кинематические связи (связь между ускорениями): - Для тела 2, катящегося без проскальзывания: Ускорение центра масс \(a_{C2}\) связано с угловым ускорением \(\varepsilon_2\) и внешним радиусом \(R_2\): \(a_{C2} = \varepsilon_2 R_2 = \varepsilon_2 (3r)\) Отсюда, \(\varepsilon_2 = a_{C2} / (3r)\) - Связь между телом 1 и телом 2: Трос нерастяжим, поэтому ускорение тела 1 равно тангенциальному ускорению точки на внешнем ободе тела 2, к которой прикреплен трос. \(a_1 = \varepsilon_2 R_2 = \varepsilon_2 (3r)\) Следовательно, \(a_1 = a_{C2}\) - Связь между телом 4 и телом 2: Трос нерастяжим, поэтому ускорение тела 4 равно тангенциальному ускорению точки на внутреннем ободе тела 2, к которой прикреплен трос. \(a_4 = \varepsilon_2 r_2 = \varepsilon_2 (2r)\) Подставим \(\varepsilon_2 = a_{C2} / (3r)\): \(a_4 = (a_{C2} / (3r)) (2r) = (2/3) a_{C2}\) - Связь между телом 2 и телом 3: Трос нерастяжим, поэтому тангенциальное ускорение точки на внешнем ободе тела 2, к которой прикреплен трос, равно тангенциальному ускорению точки на ободе тела 3. \(\varepsilon_2 R_2 = \varepsilon_3 R_3\) \(\varepsilon_2 (3r) = \varepsilon_3 (2r)\) Подставим \(\varepsilon_2 = a_{C2} / (3r)\): \((a_{C2} / (3r)) (3r) = \varepsilon_3 (2r)\) \(a_{C2} = \varepsilon_3 (2r)\) Отсюда, \(\varepsilon_3 = a_{C2} / (2r)\) 5. Уравнения движения (основные уравнения динамики): а) Для тела 1 (поступательное движение вниз): Силы: \(P_1\) (вниз), \(T_1\) (вверх - натяжение троса). \(m_1 a_1 = P_1 - T_1\) \((P/g) a_1 = P - T_1\) (1) б) Для тела 4 (поступательное движение вверх): Силы: \(P_4\) (вниз), \(T_4\) (вверх - натяжение троса). \(m_4 a_4 = T_4 - P_4\) \((P/g) a_4 = T_4 - P\) (2) в) Для тела 2 (плоскопараллельное движение): Силы: \(P_2\) (вниз), \(N_2\) (вверх - нормальная реакция опоры), \(T_1\) (влево - натяжение троса), \(T_4\) (вправо - натяжение троса), \(F_{тр2}\) (влево - сила трения, препятствующая качению), \(T_3\) (влево - натяжение троса). Уравнение движения центра масс по оси X (направление вправо - положительное): \(m_2 a_{C2} = T_4 - T_1 - T_3 - F_{тр2}\) \((3P/g) a_{C2} = T_4 - T_1 - T_3 - F_{тр2}\) (3) Уравнение вращения вокруг центра масс C (направление по часовой стрелке - положительное): \(I_2 \varepsilon_2 = T_1 R_2 - T_4 r_2 + T_3 R_2 + F_{тр2} R_2\) \((6Pr^2 / g) \varepsilon_2 = T_1 (3r) - T_4 (2r) + T_3 (3r) + F_{тр2} (3r)\) (4) (Примечание: Внешний момент \(M\) не приложен к телу 2, он приложен к телу 3. В предыдущем решении была ошибка, когда \(M\) был учтен в уравнении для тела 2.) г) Для тела 3 (вращение вокруг неподвижной оси): Силы: \(P_3\) (вниз), \(X_3, Y_3\) (реакции оси), \(T_3\) (влево - натяжение троса). Моменты: \(M\) (против часовой стрелки), \(T_3\) (создает момент по часовой стрелке). Уравнение вращения вокруг оси (направление против часовой стрелки - положительное): \(I_3 \varepsilon_3 = M - T_3 R_3\) \((4Pr^2 / g) \varepsilon_3 = 5Pr - T_3 (2r)\) (5) 6. Решение системы уравнений: Подставим кинематические связи в уравнения движения: Из (1): \(T_1 = P - (P/g) a_1 = P - (P/g) a_{C2}\) Из (2): \(T_4 = P + (P/g) a_4 = P + (P/g) (2/3) a_{C2}\) Из (5): \((4Pr^2 / g) (a_{C2} / (2r)) = 5Pr - T_3 (2r)\) \((2Pr / g) a_{C2} = 5Pr - 2r T_3\) Разделим на \(r\): \((2P / g) a_{C2} = 5P - 2 T_3\) \(2 T_3 = 5P - (2P/g) a_{C2}\) \(T_3 = (5P/2) - (P/g) a_{C2}\) Теперь подставим \(T_1, T_4, T_3\) в уравнение (3) и (4). Уравнение (3) (движение центра масс тела 2): \((3P/g) a_{C2} = (P + (2P/(3g)) a_{C2}) - (P - (P/g) a_{C2}) - ((5P/2) - (P/g) a_{C2}) - F_{тр2}\) \((3P/g) a_{C2} = P + (2P/(3g)) a_{C2} - P + (P/g) a_{C2} - 5P/2 + (P/g) a_{C2} - F_{тр2}\) \((3P/g) a_{C2} = (2P/(3g)) a_{C2} + (P/g) a_{C2} + (P/g) a_{C2} - 5P/2 - F_{тр2}\) \((3P/g) a_{C2} - (2P/(3g)) a_{C2} - (P/g) a_{C2} - (P/g) a_{C2} = -5P/2 - F_{тр2}\) \(( (9P - 2P - 3P - 3P) / (3g) ) a_{C2} = -5P/2 - F_{тр2}\) \((P / (3g)) a_{C2} = -5P/2 - F_{тр2}\) \(F_{тр2} = -5P/2 - (P / (3g)) a_{C2}\) Уравнение (4) (вращение тела 2): \((6Pr^2 / g) (a_{C2} / (3r)) = (P - (P/g) a_{C2}) (3r) - (P + (2P/(3g)) a_{C2}) (2r) + ((5P/2) - (P/g) a_{C2}) (3r) + (-5P/2 - (P / (3g)) a_{C2}) (3r)\) \((2Pr / g) a_{C2} = 3Pr - (3Pr/g) a_{C2} - 2Pr - (4Pr/(3g)) a_{C2} + (15Pr/2) - (3Pr/g) a_{C2} - (15Pr/2) - (3Pr/g) a_{C2}\) \((2Pr / g) a_{C2} = (3Pr - 2Pr + 15Pr/2 - 15Pr/2) + ((-3Pr/g) - (4Pr/(3g)) - (3Pr/g) - (3Pr/g)) a_{C2}\) \((2Pr / g) a_{C2} = Pr + ((-9Pr - 4Pr - 9Pr - 9Pr) / (3g)) a_{C2}\) \((2Pr / g) a_{C2} = Pr + (-31Pr / (3g)) a_{C2}\) Разделим все на \(Pr\): \((2 / g) a_{C2} = 1 - (31 / (3g)) a_{C2}\) \((2 / g) a_{C2} + (31 / (3g)) a_{C2} = 1\) \(( (6 + 31) / (3g) ) a_{C2} = 1\) \((37 / (3g)) a_{C2} = 1\) \(a_{C2} = 3g / 37\) Итак, ускорение центра масс тела 2: \[a_{C2} = \frac{3g}{37}\] Направление: вправо (поскольку результат положительный, наше предположение о направлении движения было верным). 7. Найдем динамические реакции на оси тела 3 (\(X_3, Y_3\)): Для тела 3, вращающегося вокруг неподвижной оси, уравнения движения: \(\sum F_x = m_3 a_{C3x}\) \(\sum F_y = m_3 a_{C3y}\) \(\sum M_z = I_3 \varepsilon_3\) Поскольку ось вращения тела 3 неподвижна, центр масс тела 3 не движется, то есть \(a_{C3x} = 0\) и \(a_{C3y} = 0\). Силы, действующие на тело 3: - Сила тяжести \(P_3 = m_3 g\) (вниз) - Натяжение троса \(T_3\) (влево) - Реакции оси \(X_3\) (горизонтальная) и \(Y_3\) (вертикальная) Уравнения равновесия сил: По оси X (направление вправо - положительное): \(X_3 - T_3 = 0 \Rightarrow X_3 = T_3\) По оси Y (направление вверх - положительное): \(Y_3 - P_3 = 0 \Rightarrow Y_3 = P_3\) Мы уже нашли \(T_3 = (5P/2) - (P/g) a_{C2}\). Подставим значение \(a_{C2}\): \(T_3 = (5P/2) - (P/g) (3g / 37) = 5P/2 - 3P/37\) \(T_3 = (5 \cdot 37 P - 3 \cdot 2 P) / (2 \cdot 37) = (185P - 6P) / 74 = 179P / 74\) Тогда: \[X_3 = T_3 = \frac{179P}{74}\] Направление: вправо (поскольку \(T_3\) действует влево, реакция \(X_3\) должна быть вправо, чтобы компенсировать). \[Y_3 = P_3 = 2P\] Направление: вверх. --- Ответ: Ускорение центра масс тела 2: \[a_{C2} = \frac{3g}{37}\] Направление: вправо. Динамические реакции на оси тела 3: \[X_3 = \frac{179P}{74}\] Направление: вправо. \[Y_3 = 2P\] Направление: вверх.