Решение задачи на гиперболу с подробным объяснением

Хорошо, давайте решим задачу с гиперболой, используя предоставленные данные и оформляя решение так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. --- Задача: Решить гиперболу. Дано: Из изображения видно, что были вычисления для гиперболы, где: \(c^2 = a^2 + b^2\) \(c^2 = 25 + 64 = 89\) \(c = \sqrt{89} \approx 9,43\) Фокусы: \(F_1(-\sqrt{89}; 0)\) и \(F_2(\sqrt{89}; 0)\) Асимптоты: \(y = \pm \frac{b}{a} x\) Из вычислений: \(y = \pm \frac{64}{25} x = \pm 2 \frac{14}{25} x\) (Предполагается, что \(a^2 = 25\) и \(b^2 = 64\), или наоборот, в зависимости от ориентации гиперболы. Судя по фокусам на оси X, гипербола имеет горизонтальную главную ось, поэтому \(a^2\) относится к X, а \(b^2\) к Y.) --- Решение: 1. Определим параметры гиперболы: Из данных \(c^2 = a^2 + b^2\) и \(c^2 = 25 + 64 = 89\), а также из вида асимптот \(y = \pm \frac{b}{a} x\), можно сделать вывод, что: \(a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\) \(b^2 = 64 \Rightarrow b = 8\) (Если бы \(a^2 = 64\) и \(b^2 = 25\), то асимптоты были бы \(y = \pm \frac{5}{8} x\), что не соответствует \(y = \pm \frac{64}{25} x\). Поэтому наше предположение верно.) 2. Запишем каноническое уравнение гиперболы: Для гиперболы с центром в начале координат и фокусами на оси X, каноническое уравнение имеет вид: \[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\] Подставим найденные значения \(a^2 = 25\) и \(b^2 = 64\): \[\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{64} = 1\] 3. Определим координаты вершин: Вершины гиперболы находятся на главной оси (в данном случае, оси X) на расстоянии \(a\) от центра. \(A_1(-a; 0) = A_1(-5; 0)\) \(A_2(a; 0) = A_2(5; 0)\) 4. Определим координаты фокусов: Фокусы находятся на главной оси на расстоянии \(c\) от центра. Мы уже вычислили \(c^2 = a^2 + b^2 = 25 + 64 = 89\). Значит, \(c = \sqrt{89}\). \(F_1(-c; 0) = F_1(-\sqrt{89}; 0)\) \(F_2(c; 0) = F_2(\sqrt{89}; 0)\) (Приблизительное значение \(c \approx 9,43\), как указано в исходных данных.) 5. Определим уравнения асимптот: Асимптоты для гиперболы с горизонтальной главной осью имеют вид: \[y = \pm \frac{b}{a} x\] Подставим \(a = 5\) и \(b = 8\): \[y = \pm \frac{8}{5} x\] В десятичной или смешанной дроби: \[y = \pm 1,6 x\] Или, как в исходных данных, если была ошибка в записи \(64/25\): Если \(y = \pm \frac{64}{25} x\), то это означает, что \(b/a = 64/25\). Но тогда \(b=64\) и \(a=25\), что противоречит \(a^2=25\) и \(b^2=64\). Предположим, что в исходных данных \(y = \pm \frac{b^2}{a^2} x\) или была ошибка в записи. Если же \(y = \pm \frac{8}{5} x\), то это \(y = \pm 1 \frac{3}{5} x\). Если же в исходных данных \(y = \pm 2 \frac{14}{25} x\) это \(y = \pm \frac{64}{25} x\), то это означает, что \(b/a = 64/25\). В таком случае, \(a=5\) и \(b=8\) не подходят. Давайте перепроверим, возможно, в исходных данных \(a^2\) и \(b^2\) были перепутаны местами при вычислении асимптот, или же \(a\) и \(b\) были взяты из других значений. Если \(a^2=25\) и \(b^2=64\), то \(a=5\) и \(b=8\). Тогда асимптоты \(y = \pm \frac{8}{5} x\). Если же асимптоты \(y = \pm \frac{64}{25} x\), то это означает, что \(b/a = 64/25\). Это возможно, если \(a=25\) и \(b=64\). Тогда \(a^2=625\) и \(b^2=4096\). Но тогда \(c^2 = 625 + 4096 = 4721\), что не равно 89. Следовательно, в исходных данных, скорее всего, была ошибка при записи асимптот. Правильные асимптоты для \(a=5\) и \(b=8\) будут: \[y = \pm \frac{8}{5} x\] 6. Эксцентриситет: Эксцентриситет гиперболы \(e = c/a\). \[e = \frac{\sqrt{89}}{5}\] Поскольку \(e > 1\), это действительно гипербола. 7. Построение графика: Для построения графика гиперболы: - Начертим оси координат. - Отметим центр (0,0). - Отметим вершины \(A_1(-5; 0)\) и \(A_2(5; 0)\). - Отметим фокусы \(F_1(-\sqrt{89}; 0)\) и \(F_2(\sqrt{89}; 0)\). - Построим прямоугольник с вершинами \((\pm a, \pm b)\), то есть \((\pm 5, \pm 8)\). - Проведем диагонали этого прямоугольника - это будут асимптоты \(y = \pm \frac{8}{5} x\). - Ветви гиперболы будут выходить из вершин \(A_1\) и \(A_2\) и приближаться к асимптотам, не пересекая их. --- Вывод: Каноническое уравнение гиперболы: \[\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{64} = 1\] Вершины: \(A_1(-5; 0)\), \(A_2(5; 0)\) Фокусы: \(F_1(-\sqrt{89}; 0)\), \(F_2(\sqrt{89}; 0)\) Уравнения асимптот: \[y = \pm \frac{8}{5} x\] --- (Часть задачи с \(y = x^2 + 2x + 3\) относится к параболе и не является частью решения гиперболы. Если нужно, я могу решить и эту часть отдельно.)