Решение задачи с эпюрой: Расчет на прочность стержня

Расчетно-проектировочная работа: Расчет на прочность и жесткость стержня при центральном растяжении и сжатии. Дано: \(E = 2 \cdot 10^5 \, МПа\) \(F_1 = 220 \, кН\) \(F_2 = 10 \, кН\) \(F_3 = 90 \, кН\) \(l_1 = 0,1 \, м\) \(l_2 = 0,3 \, м\) \(l_3 = 0,2 \, м\) \([\sigma] = 160 \, МПа\) Прямоугольное сечение: \(h/b = 2\) Круглое сечение: \(d\) Решение: 1. Построение эпюры продольных сил \(N_z\). Используем метод сечений, двигаясь от свободного правого конца к заделке. Участок 3 (от \(z_3 = 0\) до \(l_3 = 0,2 \, м\)): \[N_{z3} = -F_3 = -90 \, кН\] (Знак минус, так как сила направлена на сжатие участка). Участок 2 (от \(z_2 = 0\) до \(l_2 = 0,3 \, м\)): \[N_{z2} = -F_3 - F_2 = -90 - 10 = -100 \, кН\] Участок 1 (от \(z_1 = 0\) до \(l_1 = 0,1 \, м\)): \[N_{z1} = -F_3 - F_2 + F_1 = -90 - 10 + 220 = 120 \, кН\] Максимальная по модулю сила \(|N_{max}| = 120 \, кН = 120 \cdot 10^3 \, Н\). 2. Расчет размеров поперечного сечения. Из условия прочности \(\sigma = \frac{|N_{max}|}{A} \le [\sigma]\) находим требуемую площадь сечения: \[A_{req} = \frac{|N_{max}|}{[\sigma]} = \frac{120 \cdot 10^3}{160} = 750 \, мм^2 = 7,5 \, см^2\] Для круглого сечения: \[A = \frac{\pi d^2}{4} \Rightarrow d = \sqrt{\frac{4 A_{req}}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 750}{3,14}} \approx 30,9 \, мм\] Принимаем стандартное значение \(d = 32 \, мм\). Для прямоугольного сечения (\(h = 2b\)): \[A = b \cdot h = b \cdot 2b = 2b^2 \Rightarrow b = \sqrt{\frac{A_{req}}{2}} = \sqrt{\frac{750}{2}} \approx 19,4 \, мм\] Принимаем \(b = 20 \, мм\), тогда \(h = 40 \, мм\). Проверка напряжений (для \(A = 750 \, мм^2\)): \[\sigma_1 = \frac{120 \cdot 10^3}{750} = 160 \, МПа\] \[\sigma_2 = \frac{-100 \cdot 10^3}{750} = -133,3 \, МПа\] \[\sigma_3 = \frac{-90 \cdot 10^3}{750} = -120 \, МПа\] 3. Определение изменения длины стержня и перемещений. Изменение длины каждого участка: \[\Delta l_i = \frac{N_{zi} \cdot l_i}{E \cdot A}\] \[\Delta l_1 = \frac{120 \cdot 10^3 \cdot 100}{2 \cdot 10^5 \cdot 750} = 0,08 \, мм\] \[\Delta l_2 = \frac{-100 \cdot 10^3 \cdot 300}{2 \cdot 10^5 \cdot 750} = -0,2 \, мм\] \[\Delta l_3 = \frac{-90 \cdot 10^3 \cdot 200}{2 \cdot 10^5 \cdot 750} = -0,12 \, мм\] Полное изменение длины стержня: \[\Delta L = \Delta l_1 + \Delta l_2 + \Delta l_3 = 0,08 - 0,2 - 0,12 = -0,24 \, мм\] Проверка условия жесткости: \[|\Delta L| = 0,24 \, мм \le \Delta l_{adm} = 1 \, мм\] Условие жесткости выполняется. Перемещения сечений (от заделки): \(w_0 = 0\) \(w_1 = \Delta l_1 = 0,08 \, мм\) \(w_2 = w_1 + \Delta l_2 = 0,08 - 0,2 = -0,12 \, мм\) \(w_3 = w_2 + \Delta l_3 = -0,12 - 0,12 = -0,24 \, мм\)