Решение задачи по статике: Определение реакций жесткой заделки

Хорошо, давайте решим эту задачу по статике.

1.5. Задания по статике и пример выполнения задания

Каждый вариант задания представляет задачу по теме: «Статика твердого тела. Равновесие произвольной плоской системы сил». В задаче требуется определить реакции связей балочной конструкции, исходя из условия равновесия произвольной плоской системы сил. Весом стержневых подпорок, поддерживающих балочные конструкции, и блоков, через которые перекинуты невесомые нити, пренебречь. Варианты заданий приведены на рис 1.7 – 1.12. Номер схемы соответствует номеру варианта задания.

Задача:

Дано: \(a = 1 \text{ м}\) \(b = 3 \text{ м}\) \(c = 2 \text{ м}\) \(P = 2 \text{ кН}\) \(F = 8 \text{ кН}\) \(M = 3 \text{ кНм}\) \(q = 5 \text{ кН/м}\) Найти реакцию жесткой заделки в точке \(A\).

Решение:

1. Изобразим расчетную схему и покажем все действующие силы и реакции связей.

Жесткая заделка в точке \(A\) создает три реакции:

• Горизонтальную реакцию \(R_{Ax}\)
• Вертикальную реакцию \(R_{Ay}\)
• Реактивный момент \(M_A\)

Распределенная нагрузка \(q\) на участке длиной \(a\) может быть заменена сосредоточенной силой \(Q = q \cdot a\), приложенной в середине этого участка. \(Q = 5 \text{ кН/м} \cdot 1 \text{ м} = 5 \text{ кН}\). Направление силы \(Q\) – вертикально вниз. Распределенная нагрузка \(q\) на нижнем горизонтальном участке длиной \(a\) также заменяется сосредоточенной силой \(Q' = q \cdot a\), приложенной в середине этого участка. \(Q' = 5 \text{ кН/м} \cdot 1 \text{ м} = 5 \text{ кН}\). Направление силы \(Q'\) – вертикально вниз. Сила \(F\) приложена под углом \(60^\circ\) к горизонтали. Разложим ее на горизонтальную и вертикальную составляющие: \(F_x = F \cdot \cos(60^\circ) = 8 \text{ кН} \cdot 0.5 = 4 \text{ кН}\) \(F_y = F \cdot \sin(60^\circ) = 8 \text{ кН} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8 \text{ кН} \cdot 0.866 = 6.928 \text{ кН}\) Направление \(F_x\) – вправо, \(F_y\) – вниз. Сила \(P\) от груза, перекинутого через блок, равна \(P = 2 \text{ кН}\). Она действует вертикально вниз. Сила \(2P\) от груза, прикрепленного к стержню, равна \(2P = 2 \cdot 2 \text{ кН} = 4 \text{ кН}\). Стержень прикреплен под углом \(30^\circ\) к горизонтали. Разложим силу \(2P\) на горизонтальную и вертикальную составляющие: \( (2P)_x = 2P \cdot \cos(30^\circ) = 4 \text{ кН} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4 \text{ кН} \cdot 0.866 = 3.464 \text{ кН}\) \( (2P)_y = 2P \cdot \sin(30^\circ) = 4 \text{ кН} \cdot 0.5 = 2 \text{ кН}\) Направление \( (2P)_x \) – влево, \( (2P)_y \) – вниз. Момент \(M\) действует по часовой стрелке.

2. Запишем уравнения равновесия для плоской системы сил.

Для равновесия плоской системы сил необходимо, чтобы сумма проекций всех сил на оси \(x\) и \(y\) была равна нулю, и сумма моментов всех сил относительно любой точки также была равна нулю. Выберем систему координат с началом в точке \(A\), ось \(x\) направлена вправо, ось \(y\) направлена вверх.

Уравнение равновесия по оси \(x\):

\[ \sum F_x = 0 \] Примем положительное направление вправо. \(R_{Ax} + F_x - (2P)_x = 0\) \(R_{Ax} + 4 \text{ кН} - 3.464 \text{ кН} = 0\) \(R_{Ax} + 0.536 \text{ кН} = 0\) \(R_{Ax} = -0.536 \text{ кН}\) Отрицательное значение \(R_{Ax}\) означает, что ее истинное направление противоположно принятому, то есть \(R_{Ax}\) направлена влево.

Уравнение равновесия по оси \(y\):

\[ \sum F_y = 0 \] Примем положительное направление вверх. \(R_{Ay} - Q - F_y - P - Q' - (2P)_y = 0\) \(R_{Ay} - 5 \text{ кН} - 6.928 \text{ кН} - 2 \text{ кН} - 5 \text{ кН} - 2 \text{ кН} = 0\) \(R_{Ay} - 20.928 \text{ кН} = 0\) \(R_{Ay} = 20.928 \text{ кН}\) Положительное значение \(R_{Ay}\) означает, что ее истинное направление совпадает с принятым, то есть \(R_{Ay}\) направлена вверх.

Уравнение моментов относительно точки \(A\):

\[ \sum M_A = 0 \] Примем положительное направление моментов против часовой стрелки. Моменты от сил:

• Сила \(Q\): создает момент по часовой стрелке. Плечо \(a/2 = 1/2 = 0.5 \text{ м}\). \(M_Q = -Q \cdot (a/2) = -5 \text{ кН} \cdot 0.5 \text{ м} = -2.5 \text{ кНм}\)
• Сила \(F_y\): создает момент по часовой стрелке. Плечо \(a = 1 \text{ м}\). \(M_{Fy} = -F_y \cdot a = -6.928 \text{ кН} \cdot 1 \text{ м} = -6.928 \text{ кНм}\)
• Сила \(F_x\): создает момент по часовой стрелке. Плечо равно нулю относительно точки \(A\), так как линия действия силы проходит через точку \(A\). \(M_{Fx} = 0\)
• Момент \(M\): действует по часовой стрелке. \(M_M = -3 \text{ кНм}\)
• Сила \(P\): создает момент по часовой стрелке. Плечо \(a+b = 1+3 = 4 \text{ м}\). \(M_P = -P \cdot (a+b) = -2 \text{ кН} \cdot 4 \text{ м} = -8 \text{ кНм}\)
• Сила \(Q'\): создает момент по часовой стрелке. Плечо \(a + a/2 = 1 + 0.5 = 1.5 \text{ м}\). \(M_{Q'} = -Q' \cdot (a + a/2) = -5 \text{ кН} \cdot 1.5 \text{ м} = -7.5 \text{ кНм}\)
• Сила \( (2P)_y \): создает момент по часовой стрелке. Плечо \(a + a = 1 + 1 = 2 \text{ м}\). \(M_{(2P)_y} = -(2P)_y \cdot (a+a) = -2 \text{ кН} \cdot 2 \text{ м} = -4 \text{ кНм}\)
• Сила \( (2P)_x \): создает момент по часовой стрелке. Плечо \(c = 2 \text{ м}\). \(M_{(2P)_x} = -(2P)_x \cdot c = -3.464 \text{ кН} \cdot 2 \text{ м} = -6.928 \text{ кНм}\)

Теперь запишем уравнение моментов: \(M_A + M_Q + M_{Fy} + M_M + M_P + M_{Q'} + M_{(2P)_y} + M_{(2P)_x} = 0\) \(M_A - 2.5 - 6.928 - 3 - 8 - 7.5 - 4 - 6.928 = 0\) \(M_A - 38.856 = 0\) \(M_A = 38.856 \text{ кНм}\) Положительное значение \(M_A\) означает, что его истинное направление совпадает с принятым, то есть \(M_A\) действует против часовой стрелки.

3. Окончательный ответ:

Реакции жесткой заделки в точке \(A\):

• Горизонтальная реакция \(R_{Ax} = 0.536 \text{ кН}\), направлена влево.
• Вертикальная реакция \(R_{Ay} = 20.928 \text{ кН}\), направлена вверх.
• Реактивный момент \(M_A = 38.856 \text{ кНм}\), направлен против часовой стрелки.