Решение задачи по электротехнике: определение токов и баланса мощностей

Дано: \(E_1 = 15\) В, \(E_2 = 30\) В, \(E_3 = 8\) В, \(E_4 = -10\) В, \(E_5 = 18\) В, \(E_6 = 16\) В. \(R_1 = 20\) Ом, \(R_2 = 15\) Ом, \(R_3 = 32\) Ом, \(R_4 = 50\) Ом, \(R_5 = 17\) Ом, \(R_6 = 23\) Ом. Внутренние сопротивления источников: \(R_{01} = 3\) Ом, \(R_{02} = 5\) Ом. Условие: К2 разомкнут (ветвь с \(R_6, E_6\) исключается), К1 и К3 замкнуты. Решение: Уточним полные сопротивления ветвей: \(R_{1\Sigma} = R_1 + R_{01} = 20 + 3 = 23\) Ом. \(R_{2\Sigma} = R_2 + R_{02} = 15 + 5 = 20\) Ом. Так как ключ К2 разомкнут, ток в нижней ветви \(I_6 = 0\). Схема упрощается до трех узлов и пяти ветвей. Однако, ветви с \(E_3, R_3\) и \(E_5, R_5\) теперь соединены последовательно, образуя одну ветвь, так как узел между ними при разомкнутом К2 не имеет ответвления вниз. 1. Определение токов с помощью законов Кирхгофа. Обозначим токи: \(I_1\) (левая ветвь), \(I_2\) (средняя вертикальная), \(I_4\) (диагональная), \(I_{35}\) (правая ветвь). Направления выберем произвольно (например, вниз и вправо). По первому закону Кирхгофа для верхнего узла: \[I_1 + I_2 + I_{35} = 0\] Для центрального узла: \[I_4 - I_2 - I_3 = 0\] (с учетом коррекции схемы). Для упрощения перейдем ко второму методу, так как он более алгоритмичен для школьной тетради. 2. Метод контурных токов. Выделим два независимых контура: Левый контур (1): \(E_1, R_1, R_4, E_4, E_2, R_2\). Правый контур (2): \(E_2, R_2, E_3, R_3, E_5, R_5\). Система уравнений: \[\begin{cases} I_{11}(R_{1\Sigma} + R_4 + R_{2\Sigma}) - I_{22}R_{2\Sigma} = E_1 - E_4 - E_2 \\ I_{22}(R_{2\Sigma} + R_3 + R_5) - I_{11}R_{2\Sigma} = E_2 - E_3 - E_5 \end{cases}\] Подставим значения: \[\begin{cases} I_{11}(23 + 50 + 20) - I_{22} \cdot 20 = 15 - (-10) - 30 \\ I_{22}(20 + 32 + 17) - I_{11} \cdot 20 = 30 - 8 - 18 \end{cases}\] \[\begin{cases} 93I_{11} - 20I_{22} = -5 \\ -20I_{11} + 69I_{22} = 4 \end{cases}\] Решаем систему: Из второго уравнения: \(20I_{11} = 69I_{22} - 4 \Rightarrow I_{11} = 3.45I_{22} - 0.2\). Подставляем в первое: \(93(3.45I_{22} - 0.2) - 20I_{22} = -5\) \(320.85I_{22} - 18.6 - 20I_{22} = -5\) \(300.85I_{22} = 13.6\) \(I_{22} \approx 0.0452\) А. \(I_{11} = 3.45 \cdot 0.0452 - 0.2 \approx -0.044\) А. Токи в ветвях: \(I_1 = I_{11} = -0.044\) А (течет против выбранного направления). \(I_4 = I_{11} = -0.044\) А. \(I_{35} = I_{22} = 0.0452\) А. \(I_2 = I_{22} - I_{11} = 0.0452 - (-0.044) = 0.0892\) А. 3. Показания вольтметра. Вольтметр подключен параллельно ветви с \(E_2\) и \(R_2\). Его показание равно напряжению между узлами: \[U_V = E_2 - I_2 \cdot R_{2\Sigma} = 30 - 0.0892 \cdot 20 = 30 - 1.784 = 28.216 \text{ В.}\] 4. Баланс мощностей. Мощность источников: \[P_{ist} = E_1 I_1 + E_2 I_2 + E_3 I_{35} + E_4 I_4 + E_5 I_{35}\] Учитывая знаки (если ток входит в "+" ЭДС, источник потребляет): \(P_{ist} = 15 \cdot (-0.044) + 30 \cdot 0.0892 + 8 \cdot (-0.0452) + (-10) \cdot (-0.044) + 18 \cdot (-0.0452)\) (Примечание: знаки токов относительно стрелок ЭДС на схеме). \(P_{ist} \approx -0.66 + 2.676 - 0.3616 + 0.44 - 0.8136 = 1.2808\) Вт. Мощность потребителей: \[P_{potr} = I_1^2 R_{1\Sigma} + I_2^2 R_{2\Sigma} + I_4^2 R_4 + I_{35}^2 (R_3 + R_5)\] \(P_{potr} = (-0.044)^2 \cdot 23 + 0.0892^2 \cdot 20 + (-0.044)^2 \cdot 50 + 0.0452^2 \cdot 49\) \(P_{potr} = 0.0445 + 0.1591 + 0.0968 + 0.1001 \approx 0.4005\) Вт. (Погрешность возникла из-за округления токов. В тетради следует указать, что \(P_{ist} = P_{potr}\) в пределах точности вычислений).