Решение задач с логарифмами: Вариант 1

Представлю решение заданий из Варианта 1. Для удобства записи в тетрадь каждое решение приведено пошагово. Вариант 1. Найдите значение выражения: 1. \( 6 \cdot 7^{\log_{7} 2} \) Используем основное логарифмическое тождество \( a^{\log_{a} b} = b \): \[ 6 \cdot 2 = 12 \] Ответ: 12. 2. \( 9^{\log_{3} 4} \) Представим 9 как \( 3^2 \): \[ (3^2)^{\log_{3} 4} = 3^{2 \log_{3} 4} = 3^{\log_{3} 4^2} = 4^2 = 16 \] Ответ: 16. 3. \( \log_{0,25} 2 \) Представим 0,25 как \( \frac{1}{4} = 2^{-2} \): \[ \log_{2^{-2}} 2 = -\frac{1}{2} \log_{2} 2 = -0,5 \] Ответ: -0,5. 4. \( \log_{4} 8 \) Представим основания через степень двойки: \[ \log_{2^2} 2^3 = \frac{3}{2} \log_{2} 2 = 1,5 \] Ответ: 1,5. 5. \( (\log_{2} 16) \cdot (\log_{6} 36) \) Вычислим каждый логарифм: \[ \log_{2} 16 = 4 \text{ (так как } 2^4=16) \] \[ \log_{6} 36 = 2 \text{ (так как } 6^2=36) \] \[ 4 \cdot 2 = 8 \] Ответ: 8. 6. \( \log_{6} 270 - \log_{6} 7,5 \) Используем свойство разности логарифмов \( \log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} \frac{b}{c} \): \[ \log_{6} \frac{270}{7,5} = \log_{6} 36 = 2 \] Ответ: 2. 7. \( \log_{5} 0,2 + \log_{0,5} 4 \) Вычислим по отдельности: \[ \log_{5} 0,2 = \log_{5} \frac{1}{5} = -1 \] \[ \log_{0,5} 4 = \log_{2^{-1}} 2^2 = \frac{2}{-1} = -2 \] \[ -1 + (-2) = -3 \] Ответ: -3. 8. \( \log_{0,2} 10 - \log_{0,2} 2 \) Используем свойство разности: \[ \log_{0,2} \frac{10}{2} = \log_{0,2} 5 = \log_{5^{-1}} 5 = -1 \] Ответ: -1. 9. \( \frac{\log_{3} 25}{\log_{3} 5} \) Используем формулу перехода к новому основанию \( \frac{\log_{c} a}{\log_{c} b} = \log_{b} a \): \[ \log_{5} 25 = 2 \] Ответ: 2. 10. \( \frac{\log_{9} 8}{\log_{81} 8} \) Приведем к основанию 9 в знаменателе: \( \log_{81} 8 = \log_{9^2} 8 = \frac{1}{2} \log_{9} 8 \). \[ \frac{\log_{9} 8}{\frac{1}{2} \log_{9} 8} = \frac{1}{1/2} = 2 \] Ответ: 2. 11. \( \log_{5} 7 \cdot \log_{7} 25 \) Используем свойство \( \log_{a} b \cdot \log_{b} c = \log_{a} c \): \[ \log_{5} 25 = 2 \] Ответ: 2. 12. \( \frac{6^{\log_{12} 432}}{6^{\log_{12} 3}} \) Используем свойство степеней \( \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \): \[ 6^{\log_{12} 432 - \log_{12} 3} = 6^{\log_{12} \frac{432}{3}} = 6^{\log_{12} 144} \] Так как \( \log_{12} 144 = 2 \): \[ 6^2 = 36 \] Ответ: 36. 13. \( (1 - \log_{2} 12)(1 - \log_{6} 12) \) Разложим 12: \[ (1 - (\log_{2} 4 + \log_{2} 3))(1 - (\log_{6} 6 + \log_{6} 2)) \] \[ (1 - 2 - \log_{2} 3)(1 - 1 - \log_{6} 2) = (-1 - \log_{2} 3)(-\log_{6} 2) \] \[ (1 + \log_{2} 3) \cdot \frac{1}{\log_{2} 6} = \log_{2} (2 \cdot 3) \cdot \frac{1}{\log_{2} 6} = \log_{2} 6 \cdot \frac{1}{\log_{2} 6} = 1 \] Ответ: 1. 14. \( 104 \log_{3} \sqrt[13]{3} \) \[ 104 \log_{3} 3^{\frac{1}{13}} = 104 \cdot \frac{1}{13} \log_{3} 3 = \frac{104}{13} = 8 \] Ответ: 8. 15. \( \log_{\sqrt[6]{13}} 13 \) \[ \log_{13^{1/6}} 13 = \frac{1}{1/6} \log_{13} 13 = 6 \] Ответ: 6. 16. \( \frac{\log_{3} 18}{2 + \log_{3} 2} \) Представим 2 как \( \log_{3} 9 \): \[ \frac{\log_{3} 18}{\log_{3} 9 + \log_{3} 2} = \frac{\log_{3} 18}{\log_{3} (9 \cdot 2)} = \frac{\log_{3} 18}{\log_{3} 18} = 1 \] Ответ: 1. 17. \( \frac{\log_{3} 5}{\log_{3} 7} + \log_{7} 0,2 \) Применим переход к основанию: \[ \log_{7} 5 + \log_{7} 0,2 = \log_{7} (5 \cdot 0,2) = \log_{7} 1 = 0 \] Ответ: 0. 18. \( \log_{0,8} 3 \cdot \log_{3} 1,25 \) Применим свойство произведения логарифмов: \[ \log_{0,8} 1,25 = \log_{4/5} \frac{5}{4} = \log_{4/5} (\frac{4}{5})^{-1} = -1 \] Ответ: -1. 19. \( 5^{\log_{25} 49} \) \[ 5^{\log_{5^2} 7^2} = 5^{\frac{2}{2} \log_{5} 7} = 5^{\log_{5} 7} = 7 \] Ответ: 7. 20. \( \log_{\sqrt{7}}^2 49 \) Сначала вычислим логарифм: \( \log_{7^{1/2}} 7^2 = \frac{2}{1/2} = 4 \). Теперь возведем в квадрат: \[ 4^2 = 16 \] Ответ: 16. 21. \( 8^{2 \log_{8} 3} \) \[ 8^{\log_{8} 3^2} = 3^2 = 9 \] Ответ: 9. 22. \( 64^{\log_{8} \sqrt{3}} \) \[ (8^2)^{\log_{8} \sqrt{3}} = 8^{2 \log_{8} \sqrt{3}} = 8^{\log_{8} (\sqrt{3})^2} = 3 \] Ответ: 3. 23. \( \log_{4} \log_{5} 25 \) \[ \log_{4} 2 = \log_{2^2} 2 = 0,5 \] Ответ: 0,5. 24. \( \frac{24}{3^{\log_{3} 2}} \) \[ \frac{24}{2} = 12 \] Ответ: 12. 25. \( \log_{\frac{1}{13}} \sqrt{13} \) \[ \log_{13^{-1}} 13^{1/2} = \frac{1/2}{-1} = -0,5 \] Ответ: -0,5. 26. \( \log_{3} 8,1 + \log_{3} 10 \) \[ \log_{3} (8,1 \cdot 10) = \log_{3} 81 = 4 \] Ответ: 4. 27. \( \frac{\log_{6} \sqrt{13}}{\log_{6} 13} \) \[ \frac{\log_{6} 13^{1/2}}{\log_{6} 13} = \frac{\frac{1}{2} \log_{6} 13}{\log_{6} 13} = 0,5 \] Ответ: 0,5. 28. \( (5^{\log_{5} 7})^{\log_{7} 3} \) \[ 7^{\log_{7} 3} = 3 \] Ответ: 3.