Решение задач с логарифмами: примеры с решениями

Ниже представлено решение двух математических задач с логарифмами, оформленное для записи в тетрадь. Задание 11. Вычислить значение выражения: \[ \log_{7} 4 \cdot \log_{4} 49 \] Решение: Для решения воспользуемся формулой перехода к новому основанию: \[ \log_{a} b \cdot \log_{b} c = \log_{a} c \] В нашем случае \( a = 7 \), \( b = 4 \), \( c = 49 \). \[ \log_{7} 4 \cdot \log_{4} 49 = \log_{7} 49 \] Так как \( 49 = 7^2 \), то: \[ \log_{7} 7^2 = 2 \] Ответ: 2. Задание 22. Вычислить значение выражения: \[ 64^{\log_{8} \sqrt{15}} \] Решение: Представим число 64 как \( 8^2 \): \[ (8^2)^{\log_{8} \sqrt{15}} \] При возведении степени в степень показатели перемножаются: \[ 8^{2 \cdot \log_{8} \sqrt{15}} \] Используем свойство логарифма \( n \cdot \log_{a} b = \log_{a} b^n \): \[ 8^{\log_{8} (\sqrt{15})^2} \] Так как \( (\sqrt{15})^2 = 15 \), получаем: \[ 8^{\log_{8} 15} \] По основному логарифмическому тождеству \( a^{\log_{a} b} = b \): \[ 8^{\log_{8} 15} = 15 \] Ответ: 15.