Решение контрольной работы №1 Вариант 27 по линейным цепям

Хорошо, давайте решим задания к контрольной работе №1 по линейным цепям постоянного тока для варианта №27. Для начала выпишем исходные данные для варианта №27 из таблицы: * Номер варианта: 27 * \(R_1 = 4.70\) Ом * \(R_2 = 390\) Ом * \(R_3 = 90\) Ом * \(R_4 = 120\) Ом * \(R_5 = 16.5\) Ом * \(R_6 = 7.5\) Ом * \(E_1 = 12\) В * \(E_2 = 165\) В * \(I_{K1} = 0.5\) А * \(I_{K2} = 0.1\) А * \(I_1 = 0\) А (это ток, который нужно будет определить в задании 6) Теперь приступим к выполнению заданий.

1. Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы.

Сначала пронумеруем ветви и выберем направления токов. У нас 6 ветвей. Обозначим токи: * \(I_1\) - ток в ветви с \(I_{K1}\), \(R_1\), \(E_1\) (направлен вниз) * \(I_2\) - ток в ветви с \(R_5\) (направлен вниз) * \(I_3\) - ток в ветви с \(I_{K2}\), \(R_2\), \(E_2\) (направлен вправо) * \(I_4\) - ток в ветви с \(R_3\) (направлен вниз) * \(I_5\) - ток в ветви с \(R_6\) (направлен вниз) * \(I_6\) - ток в ветви с \(R_4\) (направлен вправо) У нас 4 узла: a (верхний левый), b (верхний центральный), c (правый), d (нижний центральный). Выберем узел d как базисный (с нулевым потенциалом). Применим первый закон Кирхгофа (закон токов) для узлов: Узел a: \(I_{K1} - I_1 = 0 \Rightarrow I_1 = I_{K1}\) (это не совсем узел, а скорее источник тока, который задает ток в ветви) Узел b: \(I_1 - I_2 - I_3 = 0\) Узел c: \(I_3 + I_4 - I_6 = 0\) Узел d: \(I_2 + I_5 - I_4 = 0\) (или \(I_2 + I_5 = I_4\)) У нас 6 неизвестных токов. Нужно 3 уравнения по первому закону Кирхгофа (для 4 узлов, 4-1=3 независимых уравнения) и 3 уравнения по второму закону Кирхгофа (для 3 независимых контуров). Выберем независимые контуры: Контур 1: a-b-d-a (левый) Контур 2: b-c-d-b (правый) Контур 3: a-b-c-d-a (внешний) - но лучше выбрать контуры, которые не пересекаются или пересекаются по одной ветви. Выберем контуры: 1. Левый контур: a-b-d-a 2. Правый контур: b-m-c-d-b (где m - узел между \(R_2\) и \(E_2\)) 3. Нижний контур: d-c-нижняя ветвь-d Давайте перерисуем схему, чтобы было удобнее. Узлы: 1. Верхний левый (над \(R_1\)) 2. Верхний центральный (между \(R_1\), \(R_5\), \(R_2\)) 3. Правый (между \(R_2\), \(R_3\), \(R_4\)) 4. Нижний центральный (между \(R_5\), \(R_6\), \(R_3\)) Ветви: 1. Ветвь с \(I_{K1}\), \(R_1\), \(E_1\). Ток \(I_1\). Направление: от узла 1 к узлу 4. 2. Ветвь с \(R_5\). Ток \(I_2\). Направление: от узла 2 к узлу 4. 3. Ветвь с \(I_{K2}\), \(R_2\), \(E_2\). Ток \(I_3\). Направление: от узла 2 к узлу 3. 4. Ветвь с \(R_3\). Ток \(I_4\). Направление: от узла 3 к узлу 4. 5. Ветвь с \(R_6\). Ток \(I_5\). Направление: от узла 4 к узлу 3 (по схеме, но лучше выбрать направление, чтобы не было путаницы). Давайте выберем направление от узла 4 к узлу 3. 6. Ветвь с \(R_4\). Ток \(I_6\). Направление: от узла 3 к узлу 4 (по нижней ветви). Пересмотрим узлы и токи: Узел 1 (верхний левый): \(I_{K1}\) входит, \(I_1\) выходит. Узел 2 (верхний центральный): \(I_1\) входит, \(I_2\) выходит, \(I_3\) выходит. Узел 3 (правый): \(I_3\) входит, \(I_4\) выходит, \(I_6\) выходит. Узел 4 (нижний центральный): \(I_2\) входит, \(I_4\) входит, \(I_6\) входит, \(I_5\) выходит. Это не очень удобно. Давайте переобозначим узлы и токи, чтобы было проще. Пусть узлы будут: A - верхний левый B - верхний центральный C - правый D - нижний центральный Ветви и токи (направления выбираем произвольно, если результат отрицательный, то направление противоположное): 1. Ветвь A-D: \(I_1\). Содержит \(I_{K1}\), \(R_1\), \(E_1\). Направление: A к D. 2. Ветвь B-D: \(I_2\). Содержит \(R_5\). Направление: B к D. 3. Ветвь B-C: \(I_3\). Содержит \(I_{K2}\), \(R_2\), \(E_2\). Направление: B к C. 4. Ветвь C-D (верхняя): \(I_4\). Содержит \(R_3\). Направление: C к D. 5. Ветвь D-C (нижняя): \(I_5\). Содержит \(R_6\), \(R_4\). Направление: D к C. Количество ветвей \(N_в = 5\). Количество узлов \(N_у = 4\). Количество независимых уравнений по первому закону Кирхгофа: \(N_у - 1 = 4 - 1 = 3\). Количество независимых уравнений по второму закону Кирхгофа: \(N_в - (N_у - 1) = 5 - 3 = 2\). Уравнения по первому закону Кирхгофа: Узел B: \(I_1 - I_2 - I_3 = 0\) (здесь \(I_1\) - это ток, который течет из узла A в узел B, а не ток в ветви A-D. Схема не очень однозначна в этом плане. Давайте предположим, что \(I_{K1}\) и \(E_1\) находятся в ветви между узлом A и узлом D, а \(R_1\) - это сопротивление этой ветви. Но на схеме \(I_{K1}\) и \(R_1\) параллельны, а \(E_1\) последовательно с \(I_1\). Это усложняет. Давайте перерисуем схему, чтобы было понятно, где какие узлы и ветви. Узлы: 1. Верхний левый (точка соединения \(I_{K1}\), \(R_1\), \(I_1\)) 2. Верхний центральный (точка b) 3. Правый (точка c) 4. Нижний центральный (точка d) Ветви: 1. Ветвь между узлом 1 и узлом 2: содержит \(R_1\). Ток \(I_a\). 2. Ветвь между узлом 2 и узлом 4 (d): содержит \(R_5\). Ток \(I_b\). 3. Ветвь между узлом 2 и узлом 3 (c): содержит \(R_2\), \(I_{K2}\), \(E_2\). Ток \(I_c\). 4. Ветвь между узлом 3 (c) и узлом 4 (d): содержит \(R_3\). Ток \(I_d\). 5. Ветвь между узлом 4 (d) и узлом 3 (c) (нижняя): содержит \(R_6\), \(R_4\). Ток \(I_e\). 6. Ветвь с источником тока \(I_1\). Ток \(I_f\). Это все еще не очень удобно. Давайте использовать стандартное обозначение узлов и ветвей. Пусть узлы: 1. Верхний левый (точка, где сходятся \(I_{K1}\), \(R_1\), \(I_1\)) 2. Точка b 3. Точка c 4. Точка d Ветви: 1. Ветвь с \(I_{K1}\) (между узлом 1 и узлом 2). Ток \(I_{K1}\). 2. Ветвь с \(R_1\) (между узлом 1 и узлом 2). Ток \(I_{R1}\). 3. Ветвь с \(I_1\) и \(E_1\) (между узлом 1 и узлом 4). Ток \(I_x\). 4. Ветвь с \(R_5\) (между узлом 2 и узлом 4). Ток \(I_y\). 5. Ветвь с \(I_{K2}\), \(R_2\), \(E_2\) (между узлом 2 и узлом 3). Ток \(I_z\). 6. Ветвь с \(R_3\) (между узлом 3 и узлом 4). Ток \(I_w\). 7. Ветвь с \(R_6\), \(R_4\) (между узлом 4 и узлом 3). Ток \(I_v\). Это слишком много токов. Давайте упростим схему, используя преобразования источников. Источник тока \(I_{K1}\) параллельно \(R_1\) можно преобразовать в источник ЭДС \(E_{K1} = I_{K1} \cdot R_1\) последовательно с \(R_1\). \(E_{K1} = 0.5 \cdot 4.70 = 2.35\) В. Направление ЭДС совпадает с направлением тока \(I_{K1}\). Источник тока \(I_{K2}\) параллельно \(R_2\) можно преобразовать в источник ЭДС \(E_{K2} = I_{K2} \cdot R_2\) последовательно с \(R_2\). \(E_{K2} = 0.1 \cdot 390 = 39\) В. Направление ЭДС совпадает с направлением тока \(I_{K2}\). После преобразований схема будет выглядеть так: Узлы: b, c, d. (Узел, где был \(I_{K1}\) и \(R_1\), теперь просто часть ветви). Ветви: 1. Ветвь между узлом b и узлом d: содержит \(R_5\). Ток \(I_1\). Направление: b к d. 2. Ветвь между узлом b и узлом c: содержит \(R_2\), \(E_2\), \(E_{K2}\). Ток \(I_2\). Направление: b к c. 3. Ветвь между узлом c и узлом d (верхняя): содержит \(R_3\). Ток \(I_3\). Направление: c к d. 4. Ветвь между узлом d и узлом c (нижняя): содержит \(R_6\), \(R_4\). Ток \(I_4\). Направление: d к c. 5. Ветвь с \(E_1\), \(R_1\), \(E_{K1}\) и источником тока \(I_1\) (который нужно определить). Это ветвь, которая подключается к узлу b и узлу d. Подождите, на схеме \(I_1\) - это ток в ветви, которая содержит \(E_1\). А \(I_{K1}\) и \(R_1\) параллельны этой ветви. Это означает, что у нас есть 4 узла: 1. Верхний левый (точка, где сходятся \(I_{K1}\), \(R_1\), ветвь с \(I_1\)) 2. Узел b 3. Узел c 4. Узел d Давайте обозначим узлы: A - верхний левый узел (где сходятся \(I_{K1}\), \(R_1\), ветвь с \(I_1\)) B - узел b C - узел c D - узел d Ветви и токи (направления выбираем произвольно): 1. Ветвь A-B: содержит \(R_1\). Ток \(I_{R1}\). Направление: A к B. 2. Ветвь A-D: содержит \(E_1\). Ток \(I_1\). Направление: A к D. 3. Ветвь с источником тока \(I_{K1}\). Ток \(I_{K1}\). Направление: от A к B. 4. Ветвь B-D: содержит \(R_5\). Ток \(I_2\). Направление: B к D. 5. Ветвь B-C: содержит \(R_2\), \(I_{K2}\), \(E_2\). Ток \(I_3\). Направление: B к C. 6. Ветвь C-D (верхняя): содержит \(R_3\). Ток \(I_4\). Направление: C к D. 7. Ветвь C-D (нижняя): содержит \(R_6\), \(R_4\). Ток \(I_5\). Направление: C к D. Количество ветвей: 7. Количество узлов: 4. Количество независимых уравнений по первому закону Кирхгофа: \(4 - 1 = 3\). Количество независимых уравнений по второму закону Кирхгофа: \(7 - 3 = 4\). Уравнения по первому закону Кирхгофа: Узел A: \(I_{K1} + I_1 - I_{R1} = 0\) (если \(I_{K1}\) и \(I_1\) входят, \(I_{R1}\) выходит) Узел B: \(I_{R1} - I_2 - I_3 = 0\) Узел C: \(I_3 - I_4 - I_5 = 0\) Узел D: \(I_1 + I_2 + I_4 + I_5 = 0\) (если все входят) Это все еще сложно. Давайте использовать метод контурных токов или узловых потенциалов, которые будут в следующих пунктах. Для первого пункта нужно просто составить систему уравнений. Давайте выберем 6 токов ветвей, как это обычно делается. Ветви: 1. Ветвь с \(I_{K1}\) и \(R_1\). Ток \(I_1\). Направление: сверху вниз. 2. Ветвь с \(R_5\). Ток \(I_2\). Направление: сверху вниз. 3. Ветвь с \(I_{K2}\), \(R_2\), \(E_2\). Ток \(I_3\). Направление: слева направо. 4. Ветвь с \(R_3\). Ток \(I_4\). Направление: сверху вниз. 5. Ветвь с \(R_6\). Ток \(I_5\). Направление: сверху вниз. 6. Ветвь с \(R_4\). Ток \(I_6\). Направление: слева направо. 7. Ветвь с \(E_1\) и \(I_1\). Ток \(I_7\). Направление: сверху вниз. Это 7 токов. Узлы: 4. Узлы: 1. Верхний левый (где сходятся \(I_{K1}\), \(R_1\), \(I_1\)) 2. Узел b 3. Узел c 4. Узел d Уравнения по первому закону Кирхгофа: Узел 1: \(I_{K1} + I_7 - I_1 = 0\) (если \(I_1\)