Решение системы уравнений способом сложения и подстановки

Решим систему линейных уравнений двумя способами: сложения и подстановки. Система уравнений: \[ \begin{cases} 4x - 2y = 2 \\ 2x + y = 5 \end{cases} \]

Способ сложения

1. Наша цель — сделать так, чтобы при сложении уравнений одна из переменных исчезла. Посмотрим на коэффициенты при \(y\): в первом уравнении это \(-2\), во втором — \(1\). Если мы умножим второе уравнение на \(2\), то коэффициент при \(y\) станет \(2\), и при сложении с \(-2y\) они взаимно уничтожатся. Умножим второе уравнение на \(2\): \(2 \cdot (2x + y) = 2 \cdot 5\) \(4x + 2y = 10\) 2. Теперь у нас новая система: \[ \begin{cases} 4x - 2y = 2 \\ 4x + 2y = 10 \end{cases} \] 3. Сложим первое уравнение с новым вторым уравнением: \((4x - 2y) + (4x + 2y) = 2 + 10\) \(4x - 2y + 4x + 2y = 12\) \(8x = 12\) 4. Найдем значение \(x\): \(x = \frac{12}{8}\) \(x = \frac{3}{2}\) \(x = 1.5\) 5. Теперь подставим найденное значение \(x = 1.5\) в любое из исходных уравнений, чтобы найти \(y\). Возьмем второе уравнение, оно проще: \(2x + y = 5\) \(2 \cdot (1.5) + y = 5\) \(3 + y = 5\) \(y = 5 - 3\) \(y = 2\) 6. Проверим решение, подставив \(x = 1.5\) и \(y = 2\) в оба исходных уравнения: Первое уравнение: \(4x - 2y = 2\) \(4 \cdot (1.5) - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2\). Верно. Второе уравнение: \(2x + y = 5\) \(2 \cdot (1.5) + 2 = 3 + 2 = 5\). Верно. Ответ, полученный способом сложения: \(x = 1.5\), \(y = 2\).

Способ подстановки

1. Наша цель — выразить одну переменную через другую из одного уравнения и подставить это выражение во второе уравнение. Возьмем второе уравнение, так как из него легко выразить \(y\): \(2x + y = 5\) \(y = 5 - 2x\) 2. Теперь подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение: \(4x - 2y = 2\) \(4x - 2 \cdot (5 - 2x) = 2\) 3. Раскроем скобки и решим уравнение относительно \(x\): \(4x - 10 + 4x = 2\) \(8x - 10 = 2\) \(8x = 2 + 10\) \(8x = 12\) \(x = \frac{12}{8}\) \(x = \frac{3}{2}\) \(x = 1.5\) 4. Теперь, когда мы нашли \(x = 1.5\), подставим это значение в выражение для \(y\), которое мы получили на первом шаге: \(y = 5 - 2x\) \(y = 5 - 2 \cdot (1.5)\) \(y = 5 - 3\) \(y = 2\) 5. Проверим решение, подставив \(x = 1.5\) и \(y = 2\) в оба исходных уравнения (проверка уже была сделана выше и подтвердила правильность). Ответ, полученный способом подстановки: \(x = 1.5\), \(y = 2\). Оба способа дали одинаковый результат, что подтверждает правильность решения. Ответ: \(x = 1.5\), \(y = 2\).