ВАРИАНТ 1
С подводной лодки, находящейся на глубине \(h\), производится пуск ракеты весом \(G\) и объемом \(V\). Путь в шахте \(AB = l = 10,5\) м ракета проходит под действием выталкивающей силы \(Q\), а стартовый участок \(BD\) в море – под действием стартовой силы \(P\). Удельный вес воды определяется из Приложения 1. Коэффициент сопротивления движению в шахте, отнесенный к весу ракеты, \(f = 0,1\). Коэффициенты сопротивления воды: \(K_1\) – на участке \(AB\), отнесенный к выталкивающей силе, \(K_2\) – на участке \(BD\), отнесенный к стартовой силе, определяются по графикам. Требуется: определить время и скорость ракеты в точках \(A, B, D\) траектории.Таблица исходных данных
| Строка | \(h\), м | \(Q\), кН | \(G\), кН | \(P\), кН | \(V\), м3 | Море | |---|---|---|---|---|---|---| | 4 | 120 | 250 | 200 | 350 | 9 | Берингово |Решение:
Для решения задачи нам понадобятся следующие данные из таблицы и графиков: Из таблицы (строка 4): Глубина \(h = 120\) м Выталкивающая сила \(Q = 250\) кН Вес ракеты \(G = 200\) кН Стартовая сила \(P = 350\) кН Объем ракеты \(V = 9\) м3 Длина участка \(AB = l = 10,5\) м Коэффициент сопротивления в шахте \(f = 0,1\) Удельный вес воды для Берингова моря (из Приложения 1, которое не предоставлено, но обычно для морской воды принимают среднее значение) примем \(\gamma = 10\) кН/м3. Проверим выталкивающую силу: \(Q = \gamma \cdot V = 10 \text{ кН/м}^3 \cdot 9 \text{ м}^3 = 90\) кН. Однако в таблице указано \(Q = 250\) кН. Будем использовать значение \(Q = 250\) кН, так как оно дано в исходных данных. Возможно, это не просто выталкивающая сила Архимеда, а некая суммарная сила, действующая на ракету в шахте.1. Участок AB (в шахте)
На участке \(AB\) на ракету действуют следующие силы: 1. Выталкивающая сила \(Q\). 2. Вес ракеты \(G\). 3. Сила сопротивления в шахте \(F_{сопр, AB}\). Сила сопротивления в шахте отнесена к весу ракеты: \(F_{сопр, AB} = f \cdot G\). \(F_{сопр, AB} = 0,1 \cdot 200 \text{ кН} = 20 \text{ кН}\). Результирующая сила, действующая на ракету на участке \(AB\): \(F_{рез, AB} = Q - G - F_{сопр, AB}\) \(F_{рез, AB} = 250 \text{ кН} - 200 \text{ кН} - 20 \text{ кН} = 30 \text{ кН}\). Ускорение ракеты на участке \(AB\): \(a_{AB} = \frac{F_{рез, AB}}{m}\), где \(m = \frac{G}{g}\). Примем \(g = 9,81\) м/с2. \(m = \frac{200 \cdot 10^3 \text{ Н}}{9,81 \text{ м/с}^2} \approx 20387,36\) кг. \(a_{AB} = \frac{30 \cdot 10^3 \text{ Н}}{20387,36 \text{ кг}} \approx 1,471\) м/с2. Начальная скорость ракеты в точке \(A\) (момент пуска) равна нулю: \(v_A = 0\). Скорость ракеты в точке \(B\): \(v_B^2 = v_A^2 + 2 \cdot a_{AB} \cdot l\) \(v_B^2 = 0^2 + 2 \cdot 1,471 \text{ м/с}^2 \cdot 10,5 \text{ м}\) \(v_B^2 = 30,906\) м2/с2 \(v_B = \sqrt{30,906} \approx 5,559\) м/с. Время прохождения участка \(AB\): \(t_{AB} = \frac{v_B - v_A}{a_{AB}}\) \(t_{AB} = \frac{5,559 \text{ м/с} - 0}{1,471 \text{ м/с}^2} \approx 3,779\) с.2. Участок BD (в море)
На участке \(BD\) на ракету действуют следующие силы: 1. Стартовая сила \(P\). 2. Вес ракеты \(G\). 3. Сила сопротивления воды \(F_{сопр, BD}\). Сила сопротивления воды на участке \(BD\) отнесена к стартовой силе \(P\). Коэффициент \(K_2\) определяется по графику. Для определения \(K_2\) нам нужно знать скорость. Однако скорость на этом участке меняется. График \(K_2\) показывает зависимость \(P\) от \(K_2\). Это не совсем стандартное представление. Обычно коэффициент сопротивления зависит от скорости. Давайте внимательно посмотрим на графики. График \(K_1\) показывает зависимость \(Q\) от \(K_1\). График \(K_2\) показывает зависимость \(P\) от \(K_2\). Это означает, что \(K_1\) и \(K_2\) являются функциями от \(Q\) и \(P\) соответственно, а не от скорости. Это необычно. Возможно, это означает, что сила сопротивления \(F_{сопр, AB} = K_1 \cdot Q\) и \(F_{сопр, BD} = K_2 \cdot P\), где \(K_1\) и \(K_2\) являются некими безразмерными коэффициентами, которые зависят от других параметров, не указанных явно, но их значения можно найти по графикам, зная \(Q\) и \(P\). Давайте перечитаем условие: "Коэффициенты сопротивления воды: \(K_1\) – на участке \(AB\), отнесенный к выталкивающей силе, \(K_2\) – на участке \(BD\), отнесенный к стартовой силе, определяются по графикам." Это означает, что \(F_{сопр, AB} = K_1 \cdot Q\) и \(F_{сопр, BD} = K_2 \cdot P\). Но на участке \(AB\) уже был дан коэффициент \(f = 0,1\), отнесенный к весу ракеты. "Коэффициент сопротивления движению в шахте, отнесенный к весу ракеты, \(f = 0,1\)." "Коэффициенты сопротивления воды: \(K_1\) – на участке \(AB\), отнесенный к выталкивающей силе..." Это противоречие. Если \(K_1\) относится к участку \(AB\), то почему дан \(f\)? Возможно, \(f\) относится к сопротивлению в шахте, а \(K_1\) – к сопротивлению воды, если шахта заполнена водой. Но тогда почему \(K_1\) отнесен к выталкивающей силе? Давайте предположим, что: - На участке \(AB\) (в шахте) действует сопротивление \(F_{сопр, шахта} = f \cdot G\). - На участке \(BD\) (в море) действует сопротивление \(F_{сопр, море} = K_2 \cdot P\). - График \(K_1\) не используется, так как для участка \(AB\) уже дан коэффициент \(f\). Это наиболее логичное объяснение, учитывая, что \(f\) явно указан для шахты. Итак, для участка \(BD\): Стартовая сила \(P = 350\) кН. По графику \(K_2\), находим значение \(K_2\) для \(P = 350\) кН. На графике \(K_2\) по оси ординат отложена \(P\), кН. По оси абсцисс – \(K_2\). При \(P = 350\) кН, по графику \(K_2\) (правый график), находим соответствующее значение \(K_2\). При \(P = 350\) кН, \(K_2 \approx 0,045\). Сила сопротивления воды на участке \(BD\): \(F_{сопр, BD} = K_2 \cdot P = 0,045 \cdot 350 \text{ кН} = 15,75 \text{ кН}\). Результирующая сила, действующая на ракету на участке \(BD\): \(F_{рез, BD} = P - G - F_{сопр, BD}\) \(F_{рез, BD} = 350 \text{ кН} - 200 \text{ кН} - 15,75 \text{ кН} = 134,25 \text{ кН}\). Ускорение ракеты на участке \(BD\): \(a_{BD} = \frac{F_{рез, BD}}{m}\) \(a_{BD} = \frac{134,25 \cdot 10^3 \text{ Н}}{20387,36 \text{ кг}} \approx 6,585\) м/с2. Начальная скорость на участке \(BD\) – это скорость в точке \(B\): \(v_B = 5,559\) м/с. Длина участка \(BD\). Ракета стартует с глубины \(h = 120\) м. Шахта \(AB\) имеет длину \(l = 10,5\) м. Значит, точка \(B\) находится на глубине \(h - l = 120 - 10,5 = 109,5\) м. Точка \(D\) – это поверхность воды. Следовательно, длина участка \(BD\) равна глубине точки \(B\): \(L_{BD} = h - l = 109,5\) м. Скорость ракеты в точке \(D\): \(v_D^2 = v_B^2 + 2 \cdot a_{BD} \cdot L_{BD}\) \(v_D^2 = (5,559 \text{ м/с})^2 + 2 \cdot 6,585 \text{ м/с}^2 \cdot 109,5 \text{ м}\) \(v_D^2 = 30,906 + 1442,115 = 1473,021\) м2/с2 \(v_D = \sqrt{1473,021} \approx 38,380\) м/с. Время прохождения участка \(BD\): \(t_{BD} = \frac{v_D - v_B}{a_{BD}}\) \(t_{BD} = \frac{38,380 \text{ м/с} - 5,559 \text{ м/с}}{6,585 \text{ м/с}^2} = \frac{32,821}{6,585} \approx 4,984\) с.Итоговые результаты:
В точке A:
Скорость \(v_A = 0\) м/с. Время \(t_A = 0\) с.В точке B:
Скорость \(v_B \approx 5,56\) м/с. Время \(t_B = t_{AB} \approx 3,78\) с.В точке D:
Скорость \(v_D \approx 38,38\) м/с. Время \(t_D = t_{AB} + t_{BD} \approx 3,78 \text{ с} + 4,98 \text{ с} = 8,76\) с.Проверка и уточнение по графикам:
Давайте еще раз внимательно посмотрим на графики. График \(K_1\): по оси ординат \(Q\), кН. По оси абсцисс \(K_1\). График \(K_2\): по оси ординат \(P\), кН. По оси абсцисс \(K_2\). Это означает, что \(K_1\) и \(K_2\) являются функциями от \(Q\) и \(P\) соответственно. Для \(Q = 250\) кН (левый график \(K_1\)): Находим \(Q = 250\) кН на оси ординат. Соответствующее значение \(K_1 \approx 0,035\). Если бы \(K_1\) использовался на участке \(AB\), то \(F_{сопр, AB} = K_1 \cdot Q = 0,035 \cdot 250 \text{ кН} = 8,75 \text{ кН}\). Это противоречит \(f \cdot G = 0,1 \cdot 200 \text{ кН} = 20 \text{ кН}\). Поэтому, как и предполагалось, для участка \(AB\) используется \(f\), а график \(K_1\) не используется. Для \(P = 350\) кН (правый график \(K_2\)): Находим \(P = 350\) кН на оси ординат. Соответствующее значение \(K_2 \approx 0,045\). Это значение я использовал. Все расчеты выполнены с учетом этих предположений.Окончательный ответ:
В точке A:
Скорость ракеты: \(v_A = 0\) м/с. Время от начала движения: \(t_A = 0\) с.В точке B:
Скорость ракеты: \(v_B \approx 5,56\) м/с. Время от начала движения: \(t_B \approx 3,78\) с.В точке D:
Скорость ракеты: \(v_D \approx 38,38\) м/с. Время от начала движения: \(t_D \approx 8,76\) с.