help_outline
Условие задачи
Résoudre la tâche : Решить систему уравнений, используя:
1) формулы Крамера;
2) матричный способ;
3) метод Гаусса.
Нажмите для увеличения
lightbulb
Краткий ответ
Решение системы уравнений тремя различными методами: Крамера, матричным и Гаусса. Подробные вычисления и объяснения для понимания каждого шага.
Решим данную систему уравнений тремя способами.
Система уравнений:
\[
\begin{cases}
5x - 7y - 0z = -19 \\
-6x - 7y - 5z = -23 \\
-6x + 9y + 2z = 30
\end{cases}
\]
Упростим первое уравнение:
\[
\begin{cases}
5x - 7y = -19 \\
-6x - 7y - 5z = -23 \\
-6x + 9y + 2z = 30
\end{cases}
\]
1. Решение с помощью формул Крамера
Для использования формул Крамера нам нужно найти определитель главной матрицы системы (\(\Delta\)) и определители матриц, полученных заменой столбцов (\(\Delta_x\), \(\Delta_y\), \(\Delta_z\)).
Матрица коэффициентов системы:
\[
A =
\begin{pmatrix}
5 & -7 & 0 \\
-6 & -7 & -5 \\
-6 & 9 & 2
\end{pmatrix}
\]
Вектор свободных членов:
\[
B =
\begin{pmatrix}
-19 \\
-23 \\
30
\end{pmatrix}
\]
Вычисление главного определителя \(\Delta\):
\[
\Delta =
\begin{vmatrix}
5 & -7 & 0 \\
-6 & -7 & -5 \\
-6 & 9 & 2
\end{vmatrix}
\]
Раскроем определитель по первой строке:
\[
\Delta = 5 \cdot \begin{vmatrix} -7 & -5 \\ 9 & 2 \end{vmatrix} - (-7) \cdot \begin{vmatrix} -6 & -5 \\ -6 & 2 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} -6 & -7 \\ -6 & 9 \end{vmatrix}
\]
\[
\Delta = 5 \cdot ((-7) \cdot 2 - (-5) \cdot 9) + 7 \cdot ((-6) \cdot 2 - (-5) \cdot (-6)) + 0
\]
\[
\Delta = 5 \cdot (-14 + 45) + 7 \cdot (-12 - 30)
\]
\[
\Delta = 5 \cdot (31) + 7 \cdot (-42)
\]
\[
\Delta = 155 - 294
\]
\[
\Delta = -139
\]
Вычисление определителя \(\Delta_x\):
Заменим первый столбец матрицы \(A\) на вектор \(B\):
\[
\Delta_x =
\begin{vmatrix}
-19 & -7 & 0 \\
-23 & -7 & -5 \\
30 & 9 & 2
\end{vmatrix}
\]
Раскроем определитель по первой строке:
\[
\Delta_x = -19 \cdot \begin{vmatrix} -7 & -5 \\ 9 & 2 \end{vmatrix} - (-7) \cdot \begin{vmatrix} -23 & -5 \\ 30 & 2 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} -23 & -7 \\ 30 & 9 \end{vmatrix}
\]
\[
\Delta_x = -19 \cdot ((-7) \cdot 2 - (-5) \cdot 9) + 7 \cdot ((-23) \cdot 2 - (-5) \cdot 30)
\]
\[
\Delta_x = -19 \cdot (-14 + 45) + 7 \cdot (-46 + 150)
\]
\[
\Delta_x = -19 \cdot (31) + 7 \cdot (104)
\]
\[
\Delta_x = -589 + 728
\]
\[
\Delta_x = 139
\]
Вычисление определителя \(\Delta_y\):
Заменим второй столбец матрицы \(A\) на вектор \(B\):
\[
\Delta_y =
\begin{vmatrix}
5 & -19 & 0 \\
-6 & -23 & -5 \\
-6 & 30 & 2
\end{vmatrix}
\]
Раскроем определитель по первой строке:
\[
\Delta_y = 5 \cdot \begin{vmatrix} -23 & -5 \\ 30 & 2 \end{vmatrix} - (-19) \cdot \begin{vmatrix} -6 & -5 \\ -6 & 2 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} -6 & -23 \\ -6 & 30 \end{vmatrix}
\]
\[
\Delta_y = 5 \cdot ((-23) \cdot 2 - (-5) \cdot 30) + 19 \cdot ((-6) \cdot 2 - (-5) \cdot (-6))
\]
\[
\Delta_y = 5 \cdot (-46 + 150) + 19 \cdot (-12 - 30)
\]
\[
\Delta_y = 5 \cdot (104) + 19 \cdot (-42)
\]
\[
\Delta_y = 520 - 798
\]
\[
\Delta_y = -278
\]
Вычисление определителя \(\Delta_z\):
Заменим третий столбец матрицы \(A\) на вектор \(B\):
\[
\Delta_z =
\begin{vmatrix}
5 & -7 & -19 \\
-6 & -7 & -23 \\
-6 & 9 & 30
\end{vmatrix}
\]
Раскроем определитель по первой строке:
\[
\Delta_z = 5 \cdot \begin{vmatrix} -7 & -23 \\ 9 & 30 \end{vmatrix} - (-7) \cdot \begin{vmatrix} -6 & -23 \\ -6 & 30 \end{vmatrix} + (-19) \cdot \begin{vmatrix} -6 & -7 \\ -6 & 9 \end{vmatrix}
\]
\[
\Delta_z = 5 \cdot ((-7) \cdot 30 - (-23) \cdot 9) + 7 \cdot ((-6) \cdot 30 - (-23) \cdot (-6)) - 19 \cdot ((-6) \cdot 9 - (-7) \cdot (-6))
\]
\[
\Delta_z = 5 \cdot (-210 + 207) + 7 \cdot (-180 - 138) - 19 \cdot (-54 - 42)
\]
\[
\Delta_z = 5 \cdot (-3) + 7 \cdot (-318) - 19 \cdot (-96)
\]
\[
\Delta_z = -15 - 2226 + 1824
\]
\[
\Delta_z = -2241 + 1824
\]
\[
\Delta_z = -417
\]
Нахождение решений:
\[
x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{139}{-139} = -1
\]
\[
y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-278}{-139} = 2
\]
\[
z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-417}{-139} = 3
\]
Ответ: \(x = -1\), \(y = 2\), \(z = 3\).
2. Решение матричным способом
Система уравнений в матричной форме: \(AX = B\), где
\[
A =
\begin{pmatrix}
5 & -7 & 0 \\
-6 & -7 & -5 \\
-6 & 9 & 2
\end{pmatrix},
\quad
X =
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix},
\quad
B =
\begin{pmatrix}
-19 \\
-23 \\
30
\end{pmatrix}
\]
Решение находится по формуле \(X = A^{-1}B\), где \(A^{-1}\) - обратная матрица.
Нахождение обратной матрицы \(A^{-1}\):
Обратная матрица \(A^{-1}\) вычисляется по формуле:
\[
A^{-1} = \frac{1}{\Delta} \cdot (A^{T})^{adj}
\]
где \(\Delta\) - определитель матрицы \(A\), который мы уже нашли: \(\Delta = -139\).
\((A^{T})^{adj}\) - присоединенная матрица, которая является транспонированной матрицей алгебраических дополнений.
Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы \(A\):
\(A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -7 & -5 \\ 9 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot ((-7) \cdot 2 - (-5) \cdot 9) = -14 + 45 = 31\)
\(A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} -6 & -5 \\ -6 & 2 \end{vmatrix} = -1 \cdot ((-6) \cdot 2 - (-5) \cdot (-6)) = -1 \cdot (-12 - 30) = -1 \cdot (-42) = 42\)
\(A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} -6 & -7 \\ -6 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot ((-6) \cdot 9 - (-7) \cdot (-6)) = -54 - 42 = -96\)
\(A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -7 & 0 \\ 9 & 2 \end{vmatrix} = -1 \cdot ((-7) \cdot 2 - 0 \cdot 9) = -1 \cdot (-14) = 14\)
\(A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 5 & 0 \\ -6 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (5 \cdot 2 - 0 \cdot (-6)) = 10\)
\(A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 5 & -7 \\ -6 & 9 \end{vmatrix} = -1 \cdot (5 \cdot 9 - (-7) \cdot (-6)) = -1 \cdot (45 - 42) = -1 \cdot 3 = -3\)
\(A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -7 & 0 \\ -7 & -5 \end{vmatrix} = 1 \cdot ((-7) \cdot (-5) - 0 \cdot (-7)) = 35\)
\(A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 5 & 0 \\ -6 & -5 \end{vmatrix} = -1 \cdot (5 \cdot (-5) - 0 \cdot (-6)) = -1 \cdot (-25) = 25\)
\(A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 5 & -7 \\ -6 & -7 \end{vmatrix} = 1 \cdot (5 \cdot (-7) - (-7) \cdot (-6)) = -35 - 42 = -77\)
Матрица алгебраических дополнений:
\[
C =
\begin{pmatrix}
31 & 42 & -96 \\
14 & 10 & -3 \\
35 & 25 & -77
\end{pmatrix}
\]
Транспонированная матрица алгебраических дополнений (присоединенная матрица):
\[
(A^{T})^{adj} = C^T =
\begin{pmatrix}
31 & 14 & 35 \\
42 & 10 & 25 \\
-96 & -3 & -77
\end{pmatrix}
\]
Обратная матрица \(A^{-1}\):
\[
A^{-1} = \frac{1}{-139}
\begin{pmatrix}
31 & 14 & 35 \\
42 & 10 & 25 \\
-96 & -3 & -77
\end{pmatrix}
\]
Умножение \(A^{-1}B\):
\[
X = A^{-1}B = \frac{1}{-139}
\begin{pmatrix}
31 & 14 & 35 \\
42 & 10 & 25 \\
-96 & -3 & -77
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-19 \\
-23 \\
30
\end{pmatrix}
\]
Выполним умножение матрицы на вектор:
\[
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
= \frac{1}{-139}
\begin{pmatrix}
31 \cdot (-19) + 14 \cdot (-23) + 35 \cdot 30 \\
42 \cdot (-19) + 10 \cdot (-23) + 25 \cdot 30 \\
-96 \cdot (-19) + (-3) \cdot (-23) + (-77) \cdot 30
\end{pmatrix}
\]
\[
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
= \frac{1}{-139}
\begin{pmatrix}
-589 - 322 + 1050 \\
-798 - 230 + 750 \\
1824 + 69 - 2310
\end{pmatrix}
\]
\[
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
= \frac{1}{-139}
\begin{pmatrix}
139 \\
-278 \\
-417
\end{pmatrix}
\]
\[
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
139 / (-139) \\
-278 / (-139) \\
-417 / (-139)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}
\]
Ответ: \(x = -1\), \(y = 2\), \(z = 3\).
3. Решение методом Гаусса
Запишем расширенную матрицу системы:
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
5 & -7 & 0 & -19 \\
-6 & -7 & -5 & -23 \\
-6 & 9 & 2 & 30
\end{array}
\right)
\]
Цель метода Гаусса - привести матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.
1. Поменяем местами первую и вторую строки для удобства (необязательно, но может упростить вычисления, если первый элемент не равен 1):
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
-6 & -7 & -5 & -23 \\
5 & -7 & 0 & -19 \\
-6 & 9 & 2 & 30
\end{array}
\right)
\]
2. Разделим первую строку на -6, чтобы получить 1 в первом элементе (или умножим на -1/6):
\(R_1 \leftarrow R_1 / (-6)\)
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 7/6 & 5/6 & 23/6 \\
5 & -7 & 0 & -19 \\
-6 & 9 & 2 & 30
\end{array}
\right)
\]
3. Обнулим элементы под первым элементом первой строки.
\(R_2 \leftarrow R_2 - 5R_1\)
\(R_3 \leftarrow R_3 + 6R_1\)
Для \(R_2\):
\(5 - 5 \cdot 1 = 0\)
\(-7 - 5 \cdot (7/6) = -7 - 35/6 = -42/6 - 35/6 = -77/6\)
\(0 - 5 \cdot (5/6) = -25/6\)
\(-19 - 5 \cdot (23/6) = -19 - 115/6 = -114/6 - 115/6 = -229/6\)
Для \(R_3\):
\(-6 + 6 \cdot 1 = 0\)
\(9 + 6 \cdot (7/6) = 9 + 7 = 16\)
\(2 + 6 \cdot (5/6) = 2
