Решение уравнения sin(t) с использованием тригонометрической окружности

Ниже представлено решение задач с использованием тригонометрической окружности, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Решите уравнение: а) \( \sin t = -1 \) На тригонометрической окружности значению синуса соответствует координата \( y \). Отметим точку на оси \( Oy \) со значением \( -1 \). Это нижняя точка окружности. Ей соответствует угол \( -\frac{\pi}{2} \) (или \( \frac{3\pi}{2} \)). Ответ: \( t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \). б) \( \sin t = 0,5 \) Проведем горизонтальную прямую \( y = 0,5 \). Она пересекает окружность в двух точках: 1. В первой четверти: \( t_1 = \frac{\pi}{6} \). 2. Во второй четверти: \( t_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \). Объединяя эти решения, получаем общую формулу: Ответ: \( t = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \). в) \( \sin t = \frac{1}{3} \) Проведем горизонтальную прямую \( y = \frac{1}{3} \). Точки пересечения с окружностью не являются табличными. Первая точка: \( t_1 = \arcsin \frac{1}{3} \). Вторая точка: \( t_2 = \pi - \arcsin \frac{1}{3} \). Ответ: \( t = (-1)^k \arcsin \frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \). Задание 2. Решите уравнение: а) \( 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \) Пусть \( \sin x = a \), где \( |a| \le 1 \). Уравнение: \( 2a^2 + a - 1 = 0 \). \[ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9 \] \[ a_1 = \frac{-1 + 3}{4} = 0,5; \quad a_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1 \] Обратная замена и работа с окружностью: 1) \( \sin x = 0,5 \) На окружности это две точки на высоте \( y = 0,5 \). \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) 2) \( \sin x = -1 \) На окружности это самая нижняя точка. \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \) Ответ: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n; x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z} \).