Решение задачи №241: Вероятность

Задача №241 Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли. Вероятность того, что в \( n \) испытаниях событие наступит ровно \( k \) раз, вычисляется по формуле: \[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где \( p \) — вероятность успеха в одном испытании, \( q = 1 - p \) — вероятность неудачи, \( n = 5 \) (количество бросков). Событие «по крайней мере дважды» означает, что успех наступил 2, 3, 4 или 5 раз. Проще найти вероятность противоположного события (успех наступил 0 или 1 раз) и вычесть её из единицы: \[ P(k \ge 2) = 1 - (P_5(0) + P_5(1)) \] а) Сумма 7 выпадет по крайней мере дважды. 1. Найдем вероятность \( p \) выпадения суммы 7 при одном броске двух кубиков. Всего исходов \( 6 \cdot 6 = 36 \). Благоприятные исходы: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — всего 6 исходов. \[ p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}, \quad q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \] 2. Вычислим вероятности для \( k=0 \) и \( k=1 \): \[ P_5(0) = C_5^0 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3125}{7776} = \frac{3125}{7776} \] \[ P_5(1) = C_5^1 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4 = 5 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{625}{1296} = \frac{3125}{7776} \] 3. Искомая вероятность: \[ P = 1 - \left(\frac{3125}{7776} + \frac{3125}{7776}\right) = 1 - \frac{6250}{7776} = \frac{7776 - 6250}{7776} = \frac{1526}{7776} = \frac{763}{3888} \approx 0,196 \] б) Сумма 12 выпадет по крайней мере дважды. 1. Найдем вероятность \( p \) выпадения суммы 12. Благоприятный исход только один: (6,6). \[ p = \frac{1}{36}, \quad q = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36} \] 2. Вычислим вероятности для \( k=0 \) и \( k=1 \): \[ P_5(0) = C_5^0 \cdot \left(\frac{1}{36}\right)^0 \cdot \left(\frac{35}{36}\right)^5 = \frac{35^5}{36^5} = \frac{52521875}{60466176} \] \[ P_5(1) = C_5^1 \cdot \left(\frac{1}{36}\right)^1 \cdot \left(\frac{35}{36}\right)^4 = 5 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{1500625}{1679616} = \frac{7503125}{60466176} \] 3. Искомая вероятность: \[ P = 1 - \left(\frac{52521875 + 7503125}{60466176}\right) = 1 - \frac{60025000}{60466176} = \frac{441176}{60466176} = \frac{68933}{9447840} \approx 0,0073 \] Ответ: а) \(\frac{763}{3888}\); б) \(\frac{68933}{9447840}\).