Решение задачи по геометрии: Параллелограмм ABCD

Конечно, давайте решим эту задачу по геометрии. Задача 6. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M так, что AB = BM. а) Докажите, что AM – биссектриса угла BAD. б) Найдите периметр параллелограмма, если CD = 8 см, CM = 6 см. Решение: а) Докажем, что AM – биссектриса угла BAD. 1. Рассмотрим параллелограмм ABCD. По определению параллелограмма, противоположные стороны параллельны. Значит, BC || AD. 2. Рассмотрим прямые BC и AD и секущую AM. Так как BC || AD, то углы BAM и AMD являются накрест лежащими углами. Следовательно, \(\angle BAM = \angle AMD\). 3. По условию задачи, на стороне BC взята точка M так, что AB = BM. Рассмотрим треугольник ABM. Так как AB = BM, то треугольник ABM является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является сторона AM. Значит, \(\angle BAM = \angle BMA\). 4. Мы получили два равенства: \(\angle BAM = \angle AMD\) (из пункта 2) \(\angle BAM = \angle BMA\) (из пункта 3) Из этих двух равенств следует, что \(\angle AMD = \angle BMA\). 5. Теперь рассмотрим углы BAD и BAM. Мы знаем, что \(\angle BAM = \angle BMA\). Также мы знаем, что AD || BC, а AM - секущая. Значит, \(\angle DAM = \angle BMA\) как накрест лежащие углы. Из этого следует, что \(\angle BAM = \angle DAM\). 6. По определению биссектрисы, луч, который делит угол на два равных угла, является биссектрисой этого угла. Так как \(\angle BAM = \angle DAM\), то AM является биссектрисой угла BAD. Что и требовалось доказать. б) Найдем периметр параллелограмма, если CD = 8 см, CM = 6 см. 1. В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны. Значит, AB = CD. По условию, CD = 8 см. Следовательно, AB = 8 см. 2. По условию задачи, AB = BM. Так как AB = 8 см, то BM = 8 см. 3. Сторона BC состоит из отрезков BM и MC. Значит, BC = BM + MC. Мы знаем, что BM = 8 см и по условию CM = 6 см. Следовательно, BC = 8 см + 6 см = 14 см. 4. В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны. Значит, AD = BC. Так как BC = 14 см, то AD = 14 см. 5. Периметр параллелограмма – это сумма длин всех его сторон. Формула периметра параллелограмма: \(P = 2 \cdot (AB + BC)\). Подставим известные значения: AB = 8 см, BC = 14 см. \(P = 2 \cdot (8 \text{ см} + 14 \text{ см})\) \(P = 2 \cdot (22 \text{ см})\) \(P = 44 \text{ см}\). Ответ: а) Доказательство приведено выше. б) Периметр параллелограмма равен 44 см.