Решение задачи: Подобные треугольники (с оформлением)

Вот решение задач с точным оформлением, которое будет удобно переписать в тетрадь школьнику. Вариант 1 1. Известно, что треугольники ABC и A1B1C1 подобны, причём стороне AB соответствует сторона A1B1, а стороне BC - сторона B1C1. Найдите неизвестные стороны этих треугольников. (См. рис 1) Решение: По условию, треугольники ABC и A1B1C1 подобны. Это означает, что отношения их сходственных сторон равны. Из рисунка 1 видно, что есть два набора треугольников. Рассмотрим каждый набор отдельно. Набор 1: Треугольник ABC: AB = 12. Треугольник A1B1C1: A1B1 = 6, B1C1 = 8, A1C1 = 9. По условию, AB соответствует A1B1, BC соответствует B1C1. Значит, коэффициент подобия \(k\) можно найти как отношение сходственных сторон: \[k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{12}{6} = 2\] Теперь найдем неизвестные стороны треугольника ABC, используя этот коэффициент подобия. Сторона BC соответствует стороне B1C1. \[\frac{BC}{B_1C_1} = k\] \[\frac{BC}{8} = 2\] \[BC = 8 \cdot 2\] \[BC = 16\] Сторона AC соответствует стороне A1C1. \[\frac{AC}{A_1C_1} = k\] \[\frac{AC}{9} = 2\] \[AC = 9 \cdot 2\] \[AC = 18\] Неизвестные стороны для первого набора: BC = 16, AC = 18. Набор 2: Треугольник ABC: AB = 6, AC = 12. Треугольник A1B1C1: A1B1 = 8, B1C1 = 6. По условию, AB соответствует A1B1, BC соответствует B1C1. Найдем коэффициент подобия \(k\): \[k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\] Теперь найдем неизвестные стороны. Сторона BC соответствует стороне B1C1. \[\frac{BC}{B_1C_1} = k\] \[\frac{BC}{6} = \frac{3}{4}\] \[BC = 6 \cdot \frac{3}{4}\] \[BC = \frac{18}{4}\] \[BC = 4.5\] Сторона AC соответствует стороне A1C1. \[\frac{AC}{A_1C_1} = k\] \[\frac{12}{A_1C_1} = \frac{3}{4}\] \[A_1C_1 = \frac{12 \cdot 4}{3}\] \[A_1C_1 = \frac{48}{3}\] \[A_1C_1 = 16\] Неизвестные стороны для второго набора: BC = 4.5, A1C1 = 16. Ответ: Для первого набора треугольников: BC = 16, AC = 18. Для второго набора треугольников: BC = 4.5, A1C1 = 16. 2. Стороны треугольника равны 5 см, 3 см и 7 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 105 см. Решение: Пусть стороны первого треугольника будут \(a_1 = 5\) см, \(b_1 = 3\) см, \(c_1 = 7\) см. Найдем периметр первого треугольника \(P_1\): \[P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = 5 + 3 + 7 = 15 \text{ см}\] Пусть стороны второго (подобного) треугольника будут \(a_2\), \(b_2\), \(c_2\). Периметр второго треугольника \(P_2 = 105\) см. Для подобных треугольников отношение периметров равно коэффициенту подобия \(k\): \[k = \frac{P_2}{P_1} = \frac{105}{15} = 7\] Теперь найдем стороны второго треугольника, умножив стороны первого треугольника на коэффициент подобия \(k\): \[a_2 = a_1 \cdot k = 5 \cdot 7 = 35 \text{ см}\] \[b_2 = b_1 \cdot k = 3 \cdot 7 = 21 \text{ см}\] \[c_2 = c_1 \cdot k = 7 \cdot 7 = 49 \text{ см}\] Проверим периметр второго треугольника: \[P_2 = 35 + 21 + 49 = 105 \text{ см}\] Это совпадает с заданным периметром. Ответ: Стороны подобного треугольника равны 35 см, 21 см и 49 см. 3. У подобных треугольников сходственные стороны равны 7 см и 35 см. Площадь первого треугольника равна 27 см\(^2\). Найдите площадь второго треугольника. Решение: Пусть \(a_1 = 7\) см и \(a_2 = 35\) см - сходственные стороны двух подобных треугольников. Площадь первого треугольника \(S_1 = 27\) см\(^2\). Найдем коэффициент подобия \(k\). Коэффициент подобия - это отношение сходственных сторон: \[k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{35}{7} = 5\] Для подобных треугольников отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: \[\frac{S_2}{S_1} = k^2\] \[\frac{S_2}{27} = 5^2\] \[\frac{S_2}{27} = 25\] Теперь найдем площадь второго треугольника \(S_2\): \[S_2 = 27 \cdot 25\] \[S_2 = 675 \text{ см}^2\] Ответ: Площадь второго треугольника равна 675 см\(^2\).