Решение задачи: Какой объём займет газ при изменении температуры?

Хорошо, давайте решим эти задачи по физике. 1. Какой объём будет занимать газ при температуре \(77^\circ \text{C}\), если при \(27^\circ \text{C}\) его объём равен \(0,006 \text{ м}^3\), при постоянном давлении. Решение: Это задача на закон Гей-Люссака, который описывает изобарный процесс (процесс при постоянном давлении). Закон Гей-Люссака гласит: при постоянном давлении объём данной массы газа прямо пропорционален его абсолютной температуре. Формула: \[\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\] Сначала переведём температуры из градусов Цельсия в Кельвины: \(T_1 = 27^\circ \text{C} + 273 = 300 \text{ К}\) \(T_2 = 77^\circ \text{C} + 273 = 350 \text{ К}\) Известный объём: \(V_1 = 0,006 \text{ м}^3\) Нам нужно найти \(V_2\). Выразим \(V_2\) из формулы: \[V_2 = V_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}\] Подставим значения: \[V_2 = 0,006 \text{ м}^3 \cdot \frac{350 \text{ К}}{300 \text{ К}}\] \[V_2 = 0,006 \text{ м}^3 \cdot \frac{7}{6}\] \[V_2 = 0,001 \text{ м}^3 \cdot 7\] \[V_2 = 0,007 \text{ м}^3\] Ответ: Объём газа будет \(0,007 \text{ м}^3\). 2. Газ при давлении \(200 \text{ кПа}\) и температуре \(17^\circ \text{C}\) имеет объём \(5 \text{ л}\). Чему равен объём (л) этой массы газа при давлении \(100 \text{ кПа}\) и температуре \(-3^\circ \text{C}\)? Решение: Это задача на объединённый газовый закон (уравнение Клапейрона). Уравнение Клапейрона: \[\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}\] Сначала переведём температуры из градусов Цельсия в Кельвины: \(T_1 = 17^\circ \text{C} + 273 = 290 \text{ К}\) \(T_2 = -3^\circ \text{C} + 273 = 270 \text{ К}\) Известные параметры: \(P_1 = 200 \text{ кПа}\) \(V_1 = 5 \text{ л}\) \(P_2 = 100 \text{ кПа}\) Нам нужно найти \(V_2\). Выразим \(V_2\) из формулы: \[V_2 = \frac{P_1 V_1 T_2}{P_2 T_1}\] Подставим значения: \[V_2 = \frac{200 \text{ кПа} \cdot 5 \text{ л} \cdot 270 \text{ К}}{100 \text{ кПа} \cdot 290 \text{ К}}\] \[V_2 = \frac{2 \cdot 5 \cdot 270}{290} \text{ л}\] \[V_2 = \frac{10 \cdot 270}{290} \text{ л}\] \[V_2 = \frac{2700}{290} \text{ л}\] \[V_2 \approx 9,31 \text{ л}\] Ответ: Объём газа будет примерно \(9,31 \text{ л}\). 3. В баллоне вместимостью \(25,6 \text{ л}\) находится \(1,04 \text{ кг}\) азота при давлении \(3,55 \text{ МПа}\). Определить температуру газа. Решение: Это задача на уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона). Уравнение Менделеева-Клапейрона: \[PV = \frac{m}{M} RT\] Где: \(P\) - давление \(V\) - объём \(m\) - масса газа \(M\) - молярная масса газа \(R\) - универсальная газовая постоянная (\(8,314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}\)) \(T\) - абсолютная температура Сначала переведём все величины в систему СИ: \(V = 25,6 \text{ л} = 25,6 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\) \(m = 1,04 \text{ кг}\) \(P = 3,55 \text{ МПа} = 3,55 \cdot 10^6 \text{ Па}\) Молярная масса азота (\(\text{N}_2\)): \(M = 2 \cdot 14 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}} = 0,028 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}\) Нам нужно найти \(T\). Выразим \(T\) из формулы: \[T = \frac{PV M}{mR}\] Подставим значения: \[T = \frac{3,55 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot 25,6 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot 0,028 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}{1,04 \text{ кг} \cdot 8,314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}}\] \[T = \frac{3,55 \cdot 25,6 \cdot 0,028 \cdot 10^3}{1,04 \cdot 8,314} \text{ К}\] \[T = \frac{2540,8}{8,64656} \text{ К}\] \[T \approx 293,8 \text{ К}\] Переведём температуру в градусы Цельсия: \(T^\circ \text{C} = 293,8 - 273 = 20,8^\circ \text{C}\) Ответ: Температура газа примерно \(293,8 \text{ К}\) или \(20,8^\circ \text{C}\). 4. Определите массу водорода, находящегося в баллоне вместимостью \(20 \text{ л}\) под давлением \(830 \text{ кПа}\) при температуре \(17^\circ \text{C}\). Решение: Это также задача на уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона). Уравнение Менделеева-Клапейрона: \[PV = \frac{m}{M} RT\] Сначала переведём все величины в систему СИ: \(V = 20 \text{ л} = 20 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\) \(P = 830 \text{ кПа} = 830 \cdot 10^3 \text{ Па}\) \(T = 17^\circ \text{C} + 273 = 290 \text{ К}\) Молярная масса водорода (\(\text{H}_2\)): \(M = 2 \cdot 1 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}} = 0,002 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}\) \(R = 8,314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}\) Нам нужно найти \(m\). Выразим \(m\) из формулы: \[m = \frac{PV M}{RT}\] Подставим значения: \[m = \frac{830 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 20 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot 0,002 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}{8,314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 290 \text{ К}}\] \[m = \frac{830 \cdot 20 \cdot 0,002}{8,314 \cdot 290} \text{ кг}\] \[m = \frac{33,2}{2410,06} \text{ кг}\] \[m \approx 0,01377 \text{ кг}\] \[m \approx 13,77 \text{ г}\] Ответ: Масса водорода примерно \(0,01377 \text{ кг}\) или \(13,77 \text{ г}\). 5. Газ находится в сосуде объёмом \(2 \text{ л}\), имеет давление \(3 \text{ атм}\). Какое давление будет у газа, если объём сосуда уменьшить до \(1 \text{ л}\), при условии, что температура остаётся постоянной? Решение: Это задача на закон Бойля-Мариотта, который описывает изотермический процесс (процесс при постоянной температуре). Закон Бойля-Мариотта гласит: при постоянной температуре объём данной массы газа обратно пропорционален его давлению. Формула: \[P_1 V_1 = P_2 V_2\] Известные параметры: \(P_1 = 3 \text{ атм}\) \(V_1 = 2 \text{ л}\) \(V_2 = 1 \text{ л}\) Нам нужно найти \(P_2\). Выразим \(P_2\) из формулы: \[P_2 = \frac{P_1 V_1}{V_2}\] Подставим значения: \[P_2 = \frac{3 \text{ атм} \cdot 2 \text{ л}}{1 \text{ л}}\] \[P_2 = 6 \text{ атм}\] Ответ: Давление газа будет \(6 \text{ атм}\). 6. Идеальный газ находится в герметичном сосуде, его температуру увеличили в 2 раза. Во сколько раз изменилось давление газа? Решение: Это задача на закон Шарля, который описывает изохорный процесс (процесс при постоянном объёме). Закон Шарля гласит: при постоянном объёме давление данной массы газа прямо пропорционально его абсолютной температуре. Формула: \[\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}\] Известно, что температура увеличилась в 2 раза, то есть \(T_2 = 2T_1\). Нам нужно найти, во сколько раз изменилось давление, то есть отношение \(\frac{P_2}{P_1}\). Из формулы: \[P_2 = P_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}\] Подставим \(T_2 = 2T_1\): \[P_2 = P_1 \cdot \frac{2T_1}{T_1}\] \[P_2 = 2P_1\] Значит, давление увеличилось в 2 раза. Ответ: Давление газа увеличилось в 2 раза. 7. \(20\)-литровый баллон содержит \(6\) атмосфер газа при температуре \(27^\circ \text{C}\). Каким было бы давление газа, если бы его нагрели до \(77^\circ \text{C}\)? Решение: Это задача на закон Шарля, так как объём баллона постоянен (изохорный процесс). Формула: \[\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}\] Сначала переведём температуры из градусов Цельсия в Кельвины: \(T_1 = 27^\circ \text{C} + 273 = 300 \text{ К}\) \(T_2 = 77^\circ \text{C} + 273 = 350 \text{ К}\) Известные параметры: \(P_1 = 6 \text{ атм}\) Нам нужно найти \(P_2\). Выразим \(P_2\) из формулы: \[P_2 = P_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}\] Подставим значения: \[P_2 = 6 \text{ атм} \cdot \frac{350 \text{ К}}{300 \text{ К}}\] \[P_2 = 6 \text{ атм} \cdot \frac{7}{6}\] \[P_2 = 7 \text{ атм}\] Ответ: Давление газа стало бы \(7 \text{ атм}\). 8. В сосуде находится газ под давлением \(50 \text{ кПа}\). Какое установилось давление в сосуде, после того как из него выпустили \(2/3\) газа? Температуру газа считать неизменной. Ответ дайте в кПа и округлите до десятых. Решение: Это задача на уравнение состояния идеального газа, при постоянном объёме и температуре. Уравнение Менделеева-Клапейрона: \[PV = \frac{m}{M} RT\] Так как \(V\), \(T\), \(R\), \(M\) постоянны, то давление \(P\) прямо пропорционально массе газа \(m\). То есть: \[\frac{P_1}{m_1} = \frac{P_2}{m_2}\] Изначальное давление: \(P_1 = 50 \text{ кПа}\) Изначальная масса газа: \(m_1\) Из сосуда выпустили \(2/3\) газа, значит, осталось \(1 - 2/3 = 1/3\) от первоначальной массы. То есть, \(m_2 = \frac{1}{3} m_1\). Нам нужно найти \(P_2\). Выразим \(P_2\) из формулы: \[P_2 = P_1 \cdot \frac{m_2}{m_1}\] Подставим значения: \[P_2 = 50 \text{ кПа} \cdot \frac{\frac{1}{3} m_1}{m_1}\] \[P_2 = 50 \text{ кПа} \cdot \frac{1}{3}\] \[P_2 = \frac{50}{3} \text{ кПа}\] \[P_2 \approx 16,666... \text{ кПа}\] Округлим до десятых: \(P_2 \approx 16,7 \text{ кПа}\) Ответ: Давление в сосуде установилось \(16,7 \text{ кПа}\). 9. В сосуде неизменного объёма находится разреженный газ в количестве \(3 \text{ моль}\). Во сколько раз изменится давление газа в сосуде, если выпустить из него моль газа, а абсолютную температуру газа уменьшить в 2 раза? Решение: Это задача на уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) в молярной форме. Уравнение Менделеева-Клапейрона: \[PV = nRT\] Где \(n\) - количество вещества (число молей). Так как объём \(V\) и универсальная газовая постоянная \(R\) постоянны, то: \[\frac{P_1}{n_1 T_1} = \frac{P_2}{n_2 T_2}\] Изначальное количество вещества: \(n_1 = 3 \text{ моль}\) Из сосуда выпустили \(1 \text{ моль}\) газа, значит, осталось \(n_2 = 3 - 1 = 2 \text{ моль}\). Абсолютную температуру уменьшили в 2 раза, то есть \(T_2 = \frac{1}{2} T_1\). Нам нужно найти, во сколько раз изменится давление, то есть отношение \(\frac{P_2}{P_1}\). Выразим \(\frac{P_2}{P_1}\) из формулы: \[\frac{P_2}{P_1} = \frac{n_2 T_2}{n_1 T_1}\] Подставим значения: \[\frac{P_2}{P_1} = \frac{2 \text{ моль