Решение задачи: Убывающие функции и область определения логарифма

Ниже представлены решения заданий из теста, оформленные для записи в тетрадь. 3.1. Укажите убывающие функции: Функция вида \( y = a^x \) убывает при \( 0 < a < 1 \). Функция вида \( y = kx + b \) убывает при \( k < 0 \). Б) \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x \) — убывающая, так как основание \( \frac{1}{2} < 1 \). В) \( y = 3 - 5x \) — убывающая линейная функция, так как коэффициент при \( x \) равен \( -5 \) (отрицательный). Ответ: Б, В. 3.2. Какие из чисел не входят в область определения функции \( y = \log_3(2x - 5) \)? Область определения логарифма: выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля. \[ 2x - 5 > 0 \] \[ 2x > 5 \] \[ x > 2,5 \] Числа, которые НЕ входят в область определения — это те, которые меньше или равны \( 2,5 \). А) \( 2 \) (не входит, так как \( 2 < 2,5 \)) Б) \( 2,5 \) (не входит, так как неравенство строгое) Ответ: А, Б. 3.3. Дана арифметическая прогрессия \( -15; -9; -3; \dots \). Какие из следующих чисел являются членами данной прогрессии? Найдем разность прогрессии \( d \): \[ d = -9 - (-15) = 6 \] Формула n-го члена: \( a_n = a_1 + (n-1)d \). Подставим значения: \[ a_n = -15 + (n-1) \cdot 6 \] Число является членом прогрессии, если \( n \) — целое положительное число. Проверим варианты: Б) \( 6 \): \( 6 = -15 + 6(n-1) \Rightarrow 21 = 6(n-1) \Rightarrow n-1 = 3,5 \) (не подходит). Г) \( 15 \): \( 15 = -15 + 6(n-1) \Rightarrow 30 = 6(n-1) \Rightarrow n-1 = 5 \Rightarrow n = 6 \) (подходит). Д) \( 33 \): \( 33 = -15 + 6(n-1) \Rightarrow 48 = 6(n-1) \Rightarrow n-1 = 8 \Rightarrow n = 9 \) (подходит). Ответ: Г, Д. 3.4. Значения каких выражений являются иррациональными числами: А) \( \sqrt{96} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{576} = 24 \) (рациональное). Б) \( \sqrt{112} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{784} = 28 \) (рациональное). В) \( \sqrt{75} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{1125} = 15\sqrt{5} \) (иррациональное). Г) \( \sqrt{18} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \) (иррациональное). Д) \( \sqrt{80} : \sqrt{5} = \sqrt{16} = 4 \) (рациональное). Ответ: В, Г. 3.5. Целыми решениями неравенства \( (x-13)(x+1) < 0 \) являются числа ... Решим методом интервалов. Корни выражения: \( x = 13 \) и \( x = -1. \) Интервал решения: \( -1 < x < 13 \). Проверим предложенные варианты: Б) \( 0 \) (входит в интервал). В) \( 1 \) (входит в интервал). Остальные числа (\( -12, -2, -3 \)) находятся вне интервала. Ответ: Б, В.