Решение задачи y' = 10^(x+y)

Ниже представлено решение задач 1.1 и 1.2, оформленное в соответствии с вашими требованиями для удобного переписывания в тетрадь. Задание 1. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения. Решение задачи 1.1: \[ y' = 10^{x+y} \] Представим производную \( y' \) как \( \frac{dy}{dx} \) и воспользуемся свойством степеней \( 10^{x+y} = 10^x \cdot 10^y \): \[ \frac{dy}{dx} = 10^x \cdot 10^y \] Разделим переменные, перенеся множители с \( y \) в левую часть, а с \( x \) в правую: \[ \frac{dy}{10^y} = 10^x dx \] \[ 10^{-y} dy = 10^x dx \] Интегрируем обе части уравнения: \[ \int 10^{-y} dy = \int 10^x dx \] Применяем формулу интегрирования показательной функции \( \int a^u du = \frac{a^u}{\ln a} + C \): \[ -\frac{10^{-y}}{\ln 10} = \frac{10^x}{\ln 10} + C_1 \] Умножим все части уравнения на \( -\ln 10 \), чтобы упростить выражение (обозначим новую произвольную константу как \( C \)): \[ 10^{-y} = -10^x + C \] \[ 10^{-y} + 10^x = C \] Ответ: Общий интеграл уравнения \( 10^{-y} + 10^x = C \). --- Решение задачи 1.2: \[ (x^2 + y^2 + 2x)e^x dx + 2ye^x dy = 0 \] Это уравнение вида \( M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \). Проверим, является ли оно уравнением в полных дифференциалах. Для этого найдем частные производные: \[ M = (x^2 + y^2 + 2x)e^x \] \[ N = 2ye^x \] Вычисляем производные: \[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} ((x^2 + y^2 + 2x)e^x) = 2ye^x \] \[ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2ye^x) = 2ye^x \] Так как \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \), данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Существует функция \( U(x, y) \), такая что \( dU = 0 \), а значит \( U(x, y) = C \). Интегрируем \( N \) по \( y \): \[ U(x, y) = \int 2ye^x dy + \varphi(x) = e^x \cdot y^2 + \varphi(x) \] Теперь найдем производную полученного выражения по \( x \) и приравняем её к \( M \): \[ \frac{\partial U}{\partial x} = y^2 e^x + \varphi'(x) \] \[ y^2 e^x + \varphi'(x) = (x^2 + y^2 + 2x)e^x \] \[ y^2 e^x + \varphi'(x) = x^2 e^x + y^2 e^x + 2xe^x \] Сокращаем одинаковые слагаемые: \[ \varphi'(x) = (x^2 + 2x)e^x \] Находим \( \varphi(x) \), интегрируя по частям: \[ \varphi(x) = \int (x^2 + 2x)e^x dx = (x^2 + 2x)e^x - \int (2x + 2)e^x dx \] \[ \varphi(x) = (x^2 + 2x)e^x - ((2x + 2)e^x - \int 2e^x dx) \] \[ \varphi(x) = x^2 e^x + 2xe^x - 2xe^x - 2e^x + 2e^x = x^2 e^x \] Собираем функцию \( U(x, y) \): \[ U(x, y) = y^2 e^x + x^2 e^x \] Общий интеграл имеет вид \( U(x, y) = C \): \[ e^x (x^2 + y^2) = C \] Ответ: Общий интеграл уравнения \( e^x (x^2 + y^2) = C \).