Решение задачи (xy'-1)ln x = 2y, y(e) = 1

Ниже представлено решение задач 2.1 и 2.2. Найти частное решение — это значит найти общее решение и вычислить значение константы \( C \), используя начальные условия. Задание 2. Найти частное решение уравнений. Решение задачи 2.1: \[ (xy' - 1) \ln x = 2y, \quad y(e) = 1 \] Раскроем скобки и выразим \( y' \): \[ xy' \ln x - \ln x = 2y \] \[ xy' \ln x = 2y + \ln x \] \[ y' - \frac{2}{x \ln x} y = \frac{1}{x} \] Это линейное неоднородное уравнение первого порядка вида \( y' + P(x)y = Q(x) \). Решим его методом замены \( y = u \cdot v \), тогда \( y' = u'v + uv' \): \[ u'v + uv' - \frac{2}{x \ln x} uv = \frac{1}{x} \] \[ u'v + u \left( v' - \frac{2v}{x \ln x} \right) = \frac{1}{x} \] Пусть скобка равна нулю: \[ v' - \frac{2v}{x \ln x} = 0 \Rightarrow \frac{dv}{v} = \frac{2 dx}{x \ln x} \] Интегрируем: \[ \ln |v| = 2 \ln |\ln x| \Rightarrow v = \ln^2 x \] Подставляем \( v \) в уравнение для \( u \): \[ u' \ln^2 x = \frac{1}{x} \Rightarrow du = \frac{dx}{x \ln^2 x} \] Интегрируем: \[ u = \int \frac{d(\ln x)}{\ln^2 x} = -\frac{1}{\ln x} + C \] Общее решение: \[ y = u \cdot v = \left( -\frac{1}{\ln x} + C \right) \ln^2 x = C \ln^2 x - \ln x \] Найдем \( C \), используя условие \( y(e) = 1 \): \[ 1 = C \ln^2 e - \ln e \] Так как \( \ln e = 1 \): \[ 1 = C \cdot 1^2 - 1 \Rightarrow C = 2 \] Ответ: Частное решение \( y = 2 \ln^2 x - \ln x \). --- Решение задачи 2.2: \[ (x^3 - 3xy^2)dx + (y^3 - 3x^2 y)dy = 0, \quad y(0) = 1 \] Проверим уравнение на полный дифференциал: \[ M = x^3 - 3xy^2, \quad N = y^3 - 3x^2 y \] \[ \frac{\partial M}{\partial y} = -6xy, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = -6xy \] Условие \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \) выполняется. Находим функцию \( U(x, y) \): \[ U = \int (x^3 - 3xy^2) dx + \varphi(y) = \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2 y^2}{2} + \varphi(y) \] Дифференцируем по \( y \) и приравниваем к \( N \): \[ \frac{\partial U}{\partial y} = -3x^2 y + \varphi'(y) = y^3 - 3x^2 y \] \[ \varphi'(y) = y^3 \Rightarrow \varphi(y) = \frac{y^4}{4} \] Общий интеграл: \[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2 y^2}{2} + \frac{y^4}{4} = C_1 \] Умножим на 4 для удобства: \[ x^4 - 6x^2 y^2 + y^4 = C \] Найдем \( C \), используя условие \( y(0) = 1 \): \[ 0^4 - 6 \cdot 0^2 \cdot 1^2 + 1^4 = C \Rightarrow C = 1 \] Ответ: Частное решение \( x^4 - 6x^2 y^2 + y^4 = 1 \).