Решение дифференциального уравнения y''' = 2/(x+5)^2 методом последовательного интегрирования

Ниже представлено решение задачи 3, оформленное по образцу из методического пособия (последовательное интегрирование). Задание 3. Найти общее решение уравнения. \[ y''' = \frac{2}{(x+5)^2} \] Решение: Данное уравнение является дифференциальным уравнением третьего порядка, допускающим понижение порядка путем последовательного интегрирования, так как оно имеет вид \( y^{(n)} = f(x) \). 1. Найдем вторую производную \( y'' \), проинтегрировав правую часть: \[ y'' = \int \frac{2}{(x+5)^2} dx = 2 \int (x+5)^{-2} d(x+5) \] \[ y'' = 2 \cdot \frac{(x+5)^{-1}}{-1} + C_1 = -\frac{2}{x+5} + C_1 \] 2. Найдем первую производную \( y' \), проинтегрировав полученное выражение: \[ y' = \int \left( -\frac{2}{x+5} + C_1 \right) dx = -2 \int \frac{dx}{x+5} + \int C_1 dx \] \[ y' = -2 \ln |x+5| + C_1 x + C_2 \] 3. Найдем общее решение \( y \), проинтегрировав еще раз: \[ y = \int (-2 \ln |x+5| + C_1 x + C_2) dx \] Разделим на интегралы: \[ y = -2 \int \ln |x+5| dx + \int C_1 x dx + \int C_2 dx \] Вычислим первый интеграл методом интегрирования по частям, где \( u = \ln |x+5| \), \( dv = dx \): \[ \int \ln |x+5| dx = (x+5) \ln |x+5| - \int (x+5) \cdot \frac{1}{x+5} dx = (x+5) \ln |x+5| - x \] Подставим всё в основное уравнение: \[ y = -2 ((x+5) \ln |x+5| - x) + \frac{C_1 x^2}{2} + C_2 x + C_3 \] Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые (слагаемое \( 2x \) можно поглотить константой \( C_2 x \), а \( \frac{C_1}{2} \) обозначить как новую константу \( C_1 \)): \[ y = -2(x+5) \ln |x+5| + C_1 x^2 + C_2 x + C_3 \] Ответ: Общее решение \( y = -2(x+5) \ln |x+5| + C_1 x^2 + C_2 x + C_3 \).