Решение интеграла ∫ln|x+5|dx методом интегрирования по частям

Для того чтобы этот интеграл было удобно переписать в тетрадь, разберем его подробно методом интегрирования по частям. Вычислим интеграл: \[ \int \ln |x+5| dx \] Воспользуемся формулой интегрирования по частям: \[ \int u dv = uv - \int v du \] Пусть: \[ u = \ln |x+5| \implies du = \frac{1}{x+5} dx \] \[ dv = dx \implies v = x + 5 \] (Примечание: для удобства сокращения мы берем \( v = x+5 \), а не просто \( x \), так как производная константы равна нулю и это допустимо). Подставляем в формулу: \[ \int \ln |x+5| dx = (x+5) \ln |x+5| - \int (x+5) \cdot \frac{1}{x+5} dx \] Сокращаем дробь под интегралом: \[ \int \ln |x+5| dx = (x+5) \ln |x+5| - \int 1 dx \] Вычисляем оставшийся интеграл: \[ \int \ln |x+5| dx = (x+5) \ln |x+5| - x + C \] Ответ: \[ (x+5) \ln |x+5| - x + C \]