Задача 1
Какой объём будет занимать газ при температуре \(77^\circ \text{C}\), если при \(27^\circ \text{C}\) его объём равен \(0,006 \text{ м}^3\), при постоянном давлении.Дано: \[ \begin{array}{l} T_1 = 27^\circ \text{C} \\ V_1 = 0,006 \text{ м}^3 \\ T_2 = 77^\circ \text{C} \\ p = \text{const} \end{array} \] Найти: \(V_2\)
СИ: \[ \begin{array}{l} T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ К} \\ V_1 = 0,006 \text{ м}^3 \\ T_2 = 77 + 273 = 350 \text{ К} \end{array} \]
Решение: Поскольку давление газа постоянно, мы можем использовать закон Гей-Люссака, который гласит, что для данной массы газа при постоянном давлении отношение объёма к абсолютной температуре постоянно: \[ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \] Из этой формулы выразим \(V_2\): \[ V_2 = \frac{V_1 \cdot T_2}{T_1} \] Подставим известные значения: \[ V_2 = \frac{0,006 \text{ м}^3 \cdot 350 \text{ К}}{300 \text{ К}} \] \[ V_2 = \frac{2,1}{300} \text{ м}^3 \] \[ V_2 = 0,007 \text{ м}^3 \]
Ответ: Объём газа при температуре \(77^\circ \text{C}\) будет \(0,007 \text{ м}^3\).
Задача 2
Газ при давлении \(200 \text{ кПа}\) и температуре \(17^\circ \text{C}\) имеет объём \(5 \text{ л}\). Чему равен объём (л) этой массы газа при давлении \(100 \text{ кПа}\) и температуре \(-3^\circ \text{C}\)?Дано: \[ \begin{array}{l} p_1 = 200 \text{ кПа} \\ T_1 = 17^\circ \text{C} \\ V_1 = 5 \text{ л} \\ p_2 = 100 \text{ кПа} \\ T_2 = -3^\circ \text{C} \end{array} \] Найти: \(V_2\)
СИ: \[ \begin{array}{l} p_1 = 200 \cdot 10^3 \text{ Па} \\ T_1 = 17 + 273 = 290 \text{ К} \\ V_1 = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \\ p_2 = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} \\ T_2 = -3 + 273 = 270 \text{ К} \end{array} \] (Примечание: в ответе просят объём в литрах, поэтому можно будет перевести обратно)
Решение: Для решения этой задачи используем объединённый газовый закон (уравнение Клапейрона), который связывает давление, объём и температуру для данной массы газа: \[ \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} \] Из этой формулы выразим \(V_2\): \[ V_2 = \frac{p_1 V_1 T_2}{p_2 T_1} \] Подставим известные значения: \[ V_2 = \frac{200 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot 270 \text{ К}}{100 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 290 \text{ К}} \] \[ V_2 = \frac{200 \cdot 5 \cdot 270}{100 \cdot 290} \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \] \[ V_2 = \frac{270000}{29000} \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \] \[ V_2 = \frac{270}{29} \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \] \[ V_2 \approx 9,31 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \] Переведём объём в литры, зная, что \(1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ л}\): \[ V_2 = 9,31 \cdot 10^{-3} \cdot 1000 \text{ л} \] \[ V_2 = 9,31 \text{ л} \]
Ответ: Объём газа при новых условиях будет примерно \(9,31 \text{ л}\).
Задача 3
В баллоне вместимостью \(25,6 \text{ л}\) находится \(1,04 \text{ кг}\) азота при давлении \(3,55 \text{ МПа}\). Определить температуру газа.Дано: \[ \begin{array}{l} V = 25,6 \text{ л} \\ m = 1,04 \text{ кг} \\ p = 3,55 \text{ МПа} \end{array} \] Найти: \(T\)
СИ: \[ \begin{array}{l} V = 25,6 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \\ m = 1,04 \text{ кг} \\ p = 3,55 \cdot 10^6 \text{ Па} \end{array} \] Молярная масса азота (\(\text{N}_2\)): \(M = 2 \cdot 14,007 \text{ г/моль} \approx 28 \text{ г/моль} = 0,028 \text{ кг/моль}\). Универсальная газовая постоянная: \(R = 8,314 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}\).
Решение: Для идеального газа используем уравнение Менделеева-Клапейрона: \[ pV = \frac{m}{M} RT \] Из этой формулы выразим температуру \(T\): \[ T = \frac{pVM}{mR} \] Подставим известные значения: \[ T = \frac{3,55 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot 25,6 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot 0,028 \text{ кг/моль}}{1,04 \text{ кг} \cdot 8,314 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}} \] \[ T = \frac{3,55 \cdot 25,6 \cdot 0,028 \cdot 10^3}{1,04 \cdot 8,314} \text{ К} \] \[ T = \frac{2540,8}{8,64656} \text{ К} \] \[ T \approx 293,85 \text{ К} \] Переведём температуру в градусы Цельсия: \[ T^\circ \text{C} = T - 273 \] \[ T^\circ \text{C} = 293,85 - 273 = 20,85^\circ \text{C} \]
Ответ: Температура газа в баллоне составляет примерно \(293,85 \text{ К}\) или \(20,85^\circ \text{C}\).
Задача 4
Определите массу водорода, находящегося в баллоне вместимостью \(20 \text{ л}\) под давлением \(830 \text{ кПа}\) при температуре \(17^\circ \text{C}\).Дано: \[ \begin{array}{l} V = 20 \text{ л} \\ p = 830 \text{ кПа} \\ T = 17^\circ \text{C} \end{array} \] Найти: \(m\)
СИ: \[ \begin{array}{l} V = 20 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \\ p = 830 \cdot 10^3 \text{ Па} \\ T = 17 + 273 = 290 \text{ К} \end{array} \] Молярная масса водорода (\(\text{H}_2\)): \(M = 2 \cdot 1,008 \text{ г/моль} \approx 2 \text{ г/моль} = 0,002 \text{ кг/моль}\). Универсальная газовая постоянная: \(R = 8,314 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}\).
Решение: Используем уравнение Менделеева-Клапейрона: \[ pV = \frac{m}{M} RT \] Из этой формулы выразим массу \(m\): \[ m = \frac{pVM}{RT} \] Подставим известные значения: \[ m = \frac{830 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 20 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot 0,002 \text{ кг/моль}}{8,314 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \cdot 290 \text{ К}} \] \[ m = \frac{830 \cdot 20 \cdot 0,002}{8,314 \cdot 290} \text{ кг} \] \[ m = \frac{33,2}{2411,06} \text{ кг} \] \[ m \approx 0,01377 \text{ кг} \] Переведём массу в граммы: \[ m \approx 0,01377 \cdot 1000 \text{ г} \] \[ m \approx 13,77 \text{ г} \]
Ответ: Масса водорода в баллоне составляет примерно \(0,01377 \text{ кг}\) или \(13,77 \text{ г}\).
Задача 5
Газ находится в сосуде объёмом \(2 \text{ л}\), имеет давление \(3 \text{ атм}\). Какое давление будет у газа, если объём сосуда уменьшить до \(1 \text{ л}\), при условии, что температура остаётся постоянной?Дано: \[ \begin{array}{l} V_1 = 2 \text{ л} \\ p_1 = 3 \text{ атм} \\ V_2 = 1 \text{ л} \\ T = \text{const} \end{array} \] Найти: \(p_2\)
СИ: (В данном случае можно не переводить в СИ, так как единицы измерения сократятся, но для строгости переведём) \[ \begin{array}{l} V_1 = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \\ p_1 = 3 \cdot 101325 \text{ Па} = 303975 \text{ Па} \\ V_2 = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \end{array} \]
Решение: Поскольку температура газа постоянна, мы можем использовать закон Бойля-Мариотта, который гласит, что для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объём постоянно: \[ p_1 V_1 = p_2 V_2 \] Из этой формулы выразим \(p_2\): \[ p_2 = \frac{p_1 V_1}{V_2} \] Подставим известные значения: \[ p_2 = \frac{3 \text{ атм} \cdot 2 \text{ л}}{1 \text{ л}} \] \[ p_2 = 6 \text{ атм} \]
Ответ: Давление газа увеличится до \(6 \text{ атм}\).
Задача 6
Идеальный газ находится в герметичном сосуде, его температуру увеличили в 2 раза. Во сколько раз изменилось давление газа?Дано: \[ \begin{array}{l} V = \text{const} \\ T_2 = 2 T_1 \end{array} \] Найти: отношение \(p_2 / p_1\)
Решение: Поскольку объём газа и его масса (сосуд герметичен) постоянны, мы можем использовать закон Шарля, который гласит, что для данной массы газа при постоянном объёме отношение давления к абсолютной температуре постоянно: \[ \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \] Из этой формулы выразим отношение \(p_2 / p_1\): \[ \frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1} \] Подставим известное отношение температур: \[ \frac{p_2}{p_1} = \frac{2 T_1}{T_1} \] \[ \frac{p_2}{p_1} = 2 \]
Ответ: Давление газа увеличилось в 2 раза.
Задача 7
\(20\)-литровый баллон содержит \(6\) атмосфер газа при температуре \(27^\circ \text{C}\). Каким было бы давление газа, если бы его нагрели до \(77^\circ \text{C}\)?Дано: \[ \begin{array}{l} V = 20 \text{ л} = \text{const} \\ p_1 = 6 \text{ атм} \\ T_1 = 27^\circ \text{C} \\ T_2 = 77^\circ \text{C} \end{array} \] Найти: \(p_2\)
СИ: \[ \begin{array}{l} T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ К} \\ T_2 = 77 + 273 = 350 \text{ К} \end{array} \] (Давление можно оставить в атмосферах, так как единицы сократятся)
Решение: Поскольку объём газа постоянный, используем закон Шарля: \[ \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \] Из этой формулы выразим \(p_2\): \[ p_2 = \frac{p_1 T_2}{T_1} \] Подставим известные значения: \[ p_2 = \frac{6 \text{ атм} \cdot 350 \text{ К}}{300 \text{ К}} \] \[ p_2 = \frac{2100}{300} \text{ атм} \] \[ p_2 = 7 \text{ атм} \]
Ответ: Давление газа увеличится до \(7 \text{ атм}\).
Задача 8
В сосуде находится газ под давлением \(50 \text{ кПа}\). Какое установилось давление в сосуде, после того как из него выпустили \(2/3\) газа? Температуру газа считать неизменной. Ответ дайте в кПа и округлите до десятых.Дано: \[ \begin{array}{l} p_1 = 50 \text{ кПа} \\ \text{Выпустили } \frac{2}{3} \text{ газа} \\ T = \text{const} \\ V = \text{const} \end{array} \] Найти: \(p_2\)
Решение: Если из сосуда выпустили \(2/3\) газа, это означает, что в сосуде осталась \(1/3\) от первоначальной массы