Решение: Таблицы истинности для логических выражений

Для выполнения задания составим таблицы истинности для каждого логического выражения. В таблицах 1 означает "истина", а 0 — "ложь". а) \( A \cdot B \cdot \overline{A} \cdot B + B \) Заметим, что \( A \cdot \overline{A} = 0 \), следовательно, всё первое слагаемое равно 0. Выражение упрощается до \( B \). \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline A & B & A \cdot B \cdot \overline{A} \cdot B & Результат \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array} \] б) \( (A + B) \cdot (\overline{A} + \overline{B}) \) Это операция "исключающее ИЛИ" (XOR). \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline A & B & A+B & \overline{A}+\overline{B} & Результат \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array} \] в) \( A + A \cdot B + A \cdot C \) По закону поглощения \( A + A \cdot B = A \). Выражение упрощается до \( A \). \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline A & B & C & Результат \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \] г) \( A + \overline{A} \cdot B + \overline{A} \cdot C \) Используем закон \( A + \overline{A} \cdot B = A + B \). Итоговое выражение: \( A + B + C \). \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline A & B & C & Результат \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \] д) \( A \cdot (A + B + C) \) По закону поглощения \( A \cdot (A + X) = A \). Результат всегда равен \( A \). \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline A & B & C & Результат \\ \hline 0 & X & X & 0 \\ 1 & X & X & 1 \\ \hline \end{array} \] (Здесь X означает любое значение 0 или 1). е) \( A \cdot B + \overline{B} + \overline{A} \cdot B \) Группируем: \( (A + \overline{A}) \cdot B + \overline{B} = 1 \cdot B + \overline{B} = B + \overline{B} = 1 \). \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline A & B & Результат \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \] ж) \( (\overline{A} + B) \cdot \overline{C} \cdot (C + A \cdot \overline{B}) \) Раскроем скобки с \( \overline{C} \): \( \overline{C} \cdot C = 0 \), остается \( (\overline{A} + B) \cdot \overline{C} \cdot A \cdot \overline{B} \). Заметим, что \( (\overline{A} + B) \cdot (A \cdot \overline{B}) = \overline{A} \cdot A \cdot \overline{B} + B \cdot A \cdot \overline{B} = 0 + 0 = 0 \). \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline A & B & C & Результат \\ \hline \text{все} & \text{комб.} & & 0 \\ \hline \end{array} \] з) \( \overline{A} \cdot \overline{C} + A \cdot B + \overline{A} \cdot C + A \cdot \overline{B} \) Группируем: \( \overline{A}(\overline{C} + C) + A(B + \overline{B}) = \overline{A} \cdot 1 + A \cdot 1 = \overline{A} + A = 1 \). \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline A & B & C & Результат \\ \hline \text{все} & \text{комб.} & & 1 \\ \hline \end{array} \] и) \( A \cdot (\overline{B} \cdot \overline{C} + B \cdot C) + A \cdot (B \cdot \overline{C} + \overline{B} \cdot C) \) Вынесем \( A \): \( A \cdot (\overline{B} \cdot \overline{C} + B \cdot C + B \cdot \overline{C} + \overline{B} \cdot C) \). В скобках: \( \overline{B}(\overline{C} + C) + B(C + \overline{C}) = \overline{B} + B = 1 \). Выражение упрощается до \( A \). \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline A & B & C & Результат \\ \hline 0 & X & X & 0 \\ 1 & X & X & 1 \\ \hline \end{array} \]