Сделать задачи 322-323-325-326 с рисунком и с дано
Нажмите для увеличения
lightbulb
Краткий ответ
Решения задач 322, 323, 325 и 326 по физике представлены с подробным объяснением, дано и необходимыми рисунками для лучшего понимания. Разобраны задачи на тему импульса и движения по окружности.
check_circle
Подробное решение
Хорошо, давайте решим эти задачи.
---
Задача 322
Материальная точка массой 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью 10 м/с. Найти изменение импульса за одну четверть периода; половину периода; период.
Дано:
Масса точки \(m = 1\) кг
Скорость \(v = 10\) м/с
Найти:
Изменение импульса за:
1. Четверть периода \(\Delta p_1\)
2. Половину периода \(\Delta p_2\)
3. Период \(\Delta p_3\)
Решение:
Импульс материальной точки определяется формулой \(p = mv\).
При равномерном движении по окружности модуль скорости остается постоянным, но направление вектора скорости постоянно меняется.
1. Изменение импульса за одну четверть периода.
Пусть в начальный момент времени вектор скорости направлен вдоль оси X. Тогда его компоненты: \(v_x = v\), \(v_y = 0\).
Через четверть периода вектор скорости будет направлен перпендикулярно начальному направлению, например, вдоль оси Y. Тогда его компоненты: \(v'_x = 0\), \(v'_y = v\).
Начальный импульс: \(\vec{p} = (mv, 0)\)
Конечный импульс: \(\vec{p'} = (0, mv)\)
Изменение импульса: \(\Delta \vec{p} = \vec{p'} - \vec{p} = (0 - mv, mv - 0) = (-mv, mv)\)
Модуль изменения импульса:
\[
|\Delta \vec{p}| = \sqrt{(-mv)^2 + (mv)^2} = \sqrt{m^2v^2 + m^2v^2} = \sqrt{2m^2v^2} = mv\sqrt{2}
\]
Подставим значения:
\[
|\Delta \vec{p}| = 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с} \cdot \sqrt{2} \approx 10 \cdot 1.414 = 14.14 \text{ кг} \cdot \text{м/с}
\]
2. Изменение импульса за половину периода.
Через половину периода вектор скорости будет направлен в противоположную сторону относительно начального направления.
Начальный импульс: \(\vec{p} = (mv, 0)\)
Конечный импульс: \(\vec{p'} = (-mv, 0)\)
Изменение импульса: \(\Delta \vec{p} = \vec{p'} - \vec{p} = (-mv - mv, 0 - 0) = (-2mv, 0)\)
Модуль изменения импульса:
\[
|\Delta \vec{p}| = |-2mv| = 2mv
\]
Подставим значения:
\[
|\Delta \vec{p}| = 2 \cdot 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с} = 20 \text{ кг} \cdot \text{м/с}
\]
3. Изменение импульса за период.
Через полный период точка возвращается в исходное положение с тем же вектором скорости.
Начальный импульс: \(\vec{p}\)
Конечный импульс: \(\vec{p'}\)
Так как \(\vec{p'} = \vec{p}\), то
\[
\Delta \vec{p} = \vec{p'} - \vec{p} = 0
\]
Модуль изменения импульса: \(|\Delta \vec{p}| = 0\).
Рисунок:
(Представьте окружность. В центре точка O. На окружности точка A. Вектор скорости в точке A направлен по касательной.
Для четверти периода:
Начальная точка A, вектор скорости \(\vec{v}\) направлен вправо.
Конечная точка B (на 90 градусов от A по окружности), вектор скорости \(\vec{v'}\) направлен вверх.
Вектор \(\Delta \vec{v} = \vec{v'} - \vec{v}\) будет направлен влево-вверх.
Для половины периода:
Начальная точка A, вектор скорости \(\vec{v}\) направлен вправо.
Конечная точка C (на 180 градусов от A по окружности), вектор скорости \(\vec{v''}\) направлен влево.
Вектор \(\Delta \vec{v} = \vec{v''} - \vec{v}\) будет направлен влево.
Для полного периода:
Начальная точка A, вектор скорости \(\vec{v}\) направлен вправо.
Конечная точка A, вектор скорости \(\vec{v}\) направлен вправо.
Вектор \(\Delta \vec{v} = 0\).
)
Ответ:
Изменение импульса за одну четверть периода: \(10\sqrt{2} \approx 14.14\) кг·м/с.
Изменение импульса за половину периода: \(20\) кг·м/с.
Изменение импульса за период: \(0\) кг·м/с.
---
Задача 323
Два неупругих тела, массы которых 2 и 6 кг, движутся навстречу друг другу со скоростями 2 м/с каждое. С какой скоростью и в каком направлении будут двигаться эти тела после удара?
Дано:
Масса первого тела \(m_1 = 2\) кг
Масса второго тела \(m_2 = 6\) кг
Скорость первого тела до удара \(v_1 = 2\) м/с
Скорость второго тела до удара \(v_2 = 2\) м/с
Удар неупругий.
Найти:
Скорость тел после удара \(V\)
Направление движения после удара.
Решение:
При неупругом ударе тела слипаются и движутся как единое целое. Применяем закон сохранения импульса.
Пусть положительное направление оси X совпадает с направлением движения первого тела.
Тогда начальный импульс первого тела: \(p_1 = m_1 v_1\)
Начальный импульс второго тела: \(p_2 = -m_2 v_2\) (так как движется навстречу)
Суммарный импульс до удара:
\[
P_{до} = m_1 v_1 - m_2 v_2
\]
После удара тела движутся вместе с общей массой \(M = m_1 + m_2\) и общей скоростью \(V\).
Суммарный импульс после удара:
\[
P_{после} = (m_1 + m_2) V
\]
По закону сохранения импульса: \(P_{до} = P_{после}\)
\[
m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) V
\]
Выразим \(V\):
\[
V = \frac{m_1 v_1 - m_2 v_2}{m_1 + m_2}
\]
Подставим значения:
\[
V = \frac{2 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с} - 6 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}}{2 \text{ кг} + 6 \text{ кг}} = \frac{4 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 12 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{8 \text{ кг}} = \frac{-8 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{8 \text{ кг}} = -1 \text{ м/с}
\]
Отрицательный знак скорости \(V\) означает, что после удара тела будут двигаться в направлении, противоположном первоначальному движению первого тела, то есть в направлении первоначального движения второго тела.
Рисунок:
(Нарисуйте два шарика.
Шарик 1 (маленький) движется вправо со стрелкой \(v_1\).
Шарик 2 (большой) движется влево со стрелкой \(v_2\).
Между ними стрелки, показывающие их столкновение.
После столкновения:
Нарисуйте два слипшихся шарика (один большой).
Стрелка \(V\) направлена влево.)
Ответ:
После удара тела будут двигаться со скоростью 1 м/с в направлении первоначального движения второго тела (более тяжелого).
---
Задача 325
Вагон массой 20 т, движущийся со скоростью 0,3 м/с, нагоняет вагон массой 30 т, движущийся со скоростью 0,2 м/с. Какова скорость вагонов после взаимодействия, если удар неупругий?
Дано:
Масса первого вагона \(m_1 = 20\) т \( = 20000\) кг
Скорость первого вагона \(v_1 = 0.3\) м/с
Масса второго вагона \(m_2 = 30\) т \( = 30000\) кг
Скорость второго вагона \(v_2 = 0.2\) м/с
Удар неупругий.
Найти:
Скорость вагонов после взаимодействия \(V\).
Решение:
При неупругом ударе вагоны сцепляются и движутся как единое целое. Применяем закон сохранения импульса.
Так как первый вагон "нагоняет" второй, это означает, что они движутся в одном направлении, и скорость первого вагона больше скорости второго.
Пусть положительное направление оси X совпадает с направлением движения вагонов.
Начальный импульс первого вагона: \(p_1 = m_1 v_1\)
Начальный импульс второго вагона: \(p_2 = m_2 v_2\)
Суммарный импульс до удара:
\[
P_{до} = m_1 v_1 + m_2 v_2
\]
После удара вагоны движутся вместе с общей массой \(M = m_1 + m_2\) и общей скоростью \(V\).
Суммарный импульс после удара:
\[
P_{после} = (m_1 + m_2) V
\]
По закону сохранения импульса: \(P_{до} = P_{после}\)
\[
m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) V
\]
Выразим \(V\):
\[
V = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}
\]
Подставим значения:
\[
V = \frac{20000 \text{ кг} \cdot 0.3 \text{ м/с} + 30000 \text{ кг} \cdot 0.2 \text{ м/с}}{20000 \text{ кг} + 30000 \text{ кг}}
\]
\[
V = \frac{6000 \text{ кг} \cdot \text{м/с} + 6000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{50000 \text{ кг}} = \frac{12000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{50000 \text{ кг}} = \frac{12}{50} = 0.24 \text{ м/с}
\]
Скорость положительна, значит, вагоны продолжат движение в том же направлении.
Рисунок:
(Нарисуйте два вагона.
Вагон 1 (поменьше) движется вправо со стрелкой \(v_1\).
Вагон 2 (побольше) движется вправо со стрелкой \(v_2\), но стрелка \(v_1\) должна быть длиннее, чем \(v_2\).
Между ними стрелки, показывающие их столкновение.
После столкновения:
Нарисуйте два сцепленных вагона.
Стрелка \(V\) направлена вправо.)
Ответ:
После взаимодействия вагоны будут двигаться со скоростью 0.24 м/с в том же направлении.
---
Задача 326
Охотник стреляет из ружья с движущейся лодки по направлению ее движения. С какой скоростью двигалась лодка, если она остановилась после двух быстро следующих друг за другом выстрелов? Масса охотника с лодкой 200 кг, масса заряда 20 г, скорость вылета газов 500 м/с.
Дано:
Масса охотника с лодкой \(M = 200\) кг
Масса одного заряда \(m = 20\) г \( = 0.02\) кг
Скорость вылета газов (относительно ружья) \(u = 500\) м/с
Количество выстрелов \(N = 2\)
Конечная скорость лодки \(V_{кон} = 0\) м/с (остановилась)
Найти:
Начальная скорость лодки \(V_{нач}\).
Решение:
Применяем закон сохранения импульса. Важно учесть, что скорость вылета газов дана относительно ружья (лодки).
Пусть положительное направление совпадает с направлением движения лодки и выстрелов.
Рассмотрим первый выстрел.
Начальный импульс системы "лодка + охотник + 2 заряда": \(P_{нач1} = (M + 2m) V_{нач}\)
После первого выстрела:
Масса лодки с охотником и одним зарядом: \(M + m\)
Скорость лодки после первого выстрела: \(V_1\)
Масса вылетевшего заряда: \(m\)
Скорость вылетевшего заряда относительно земли: \(v_{газов} = V_1 + u\) (так как выстрел по направлению движения лодки)
Импульс после первого выстрела: \(P_{после1} = (M + m) V_1 + m (V_1 + u)\)
По закону сохранения импульса:
\[
(M + 2m) V_{нач} = (M + m) V_1 + m (V_1 + u)
\]
\[
(M + 2m) V_{нач} = (M + 2m) V_1 + mu
\]
\[
V_1 = V_{нач} - \frac{mu}{M + 2m}
\]
Теперь рассмотрим второй выстрел.
Начальный импульс системы "лодка + охотник + 1 заряд" перед вторым выстрелом: \(P_{нач2} = (M + m) V_1\)
После второго выстрела:
Масса лодки с охотником: \(M\)
Скорость лодки после второго выстрела: \(V_{кон} = 0\)
Масса вылетевшего заряда: \(m\)
Скорость вылетевшего заряда относительно земли: \(v'_{газов} = V_{кон} + u = u\) (так как \(V_{кон} = 0\))
Импульс после второго выстрела: \(P_{после2} = M V_{кон} + m (V_{кон} + u) = M \cdot 0 + m (0 + u) = mu\)
По закону сохранения импульса:
\[
(M + m) V_1 = mu
\]
Выразим \(V_1\):
\[
V_1 = \frac{mu}{M + m}
\]
Теперь приравняем два выражения для \(V_1\):
\[
V_{нач} - \frac{mu}{M + 2m} = \frac{mu}{M + m}
\]
\[
V_{нач} = \frac{mu}{M + m} + \frac{mu}{M + 2m}
\]
\[
V_{нач} = mu \left( \frac{1}{M + m} + \frac{1}{M + 2m} \right)
\]
Подставим значения:
\(mu = 0.02 \text{ кг} \cdot 500 \text{ м/с} = 10 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\)
\(M + m = 200 \text{ кг} + 0.02 \text{ кг} = 200.02 \text{ кг}\)
\(M + 2m = 200 \text{ кг} + 2 \cdot 0.02 \text{ кг} = 200.04 \text{ кг}\)
\[
V_{нач} = 10 \text{ кг} \cdot \text{м/с} \left( \frac{1}{200.02 \text{ кг}} + \frac{1}{200.04 \text{ кг}} \right)
\]
Так как массы зарядов очень малы по сравнению с массой лодки, можно сделать приближение \(M + m \approx M\) и \(M + 2m \approx M\).
\[
V_{нач} \approx mu \left( \frac{1}{M} + \frac{1}{M} \right) = \frac{2mu}{M}
\]
Подставим значения в приближенную формулу:
\[
V_{нач} \approx \frac{2 \cdot 0.02 \text{ кг} \cdot 500 \text{ м/с}}{200 \text{ кг}} = \frac{
