Решение задач по векторам: сумма и разность

Вот решения заданий, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Вариант 1 1. Найти сумму векторов Даны векторы: \(\vec{a}(1; -2; 3)\) и \(\vec{b}(4; 0; -1)\). Формула для суммы векторов: \(\vec{a} + \vec{b} = \{x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2\}\). Решение: \(\vec{a} + \vec{b} = \{1 + 4; -2 + 0; 3 + (-1)\}\) \(\vec{a} + \vec{b} = \{5; -2; 2\}\) Ответ: \(\vec{a} + \vec{b} = \{5; -2; 2\}\). 2. Найти разность векторов Даны векторы: \(\vec{a}(4; 1; -3)\) и \(\vec{b}(0; -5; 2)\). Формула для разности векторов: \(\vec{a} - \vec{b} = \{x_1 - x_2; y_1 - y_2; z_1 - z_2\}\). Решение: \(\vec{a} - \vec{b} = \{4 - 0; 1 - (-5); -3 - 2\}\) \(\vec{a} - \vec{b} = \{4; 1 + 5; -5\}\) \(\vec{a} - \vec{b} = \{4; 6; -5\}\) Ответ: \(\vec{a} - \vec{b} = \{4; 6; -5\}\). 3. Найти произведение вектора на число Дан вектор: \(\vec{a}(-1; 3; 1)\) и число \(\delta = -3\). Формула для произведения вектора на число: \(\delta \vec{a} = \{\delta \cdot x; \delta \cdot y; \delta \cdot z\}\). Решение: \(\delta \vec{a} = -3 \cdot \vec{a} = \{-3 \cdot (-1); -3 \cdot 3; -3 \cdot 1\}\) \(\delta \vec{a} = \{3; -9; -3\}\) Ответ: \(\delta \vec{a} = \{3; -9; -3\}\). 4. Вычислить координаты середины отрезка Даны точки: \(A(1; 2; -3)\) и \(B(-3; 4; -1)\). Формулы для координат середины отрезка \(C(x_c; y_c; z_c)\): \(x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}\) \(y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}\) \(z_c = \frac{z_1 + z_2}{2}\) Решение: \(x_c = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) \(y_c = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3\) \(z_c = \frac{-3 + (-1)}{2} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) Ответ: Координаты середины отрезка \(C(-1; 3; -2)\). 5. Найти координаты вектора Даны точки: \(A(5; 0; -3)\) и \(B(-1; 4; -7)\). Находим координаты вектора \(\vec{AB}\). Из координат конца вычисляем координаты начала вектора. Формула для координат вектора \(\vec{AB}\): \(\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}\). Решение: \(\vec{AB} = \{-1 - 5; 4 - 0; -7 - (-3)\}\) \(\vec{AB} = \{-6; 4; -7 + 3\}\) \(\vec{AB} = \{-6; 4; -4\}\) Ответ: Координаты вектора \(\vec{AB} = \{-6; 4; -4\}\). 6. Найти длину вектора Дан вектор: \(\vec{a}(3; -2; 0)\). Формула для длины вектора: \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\). Решение: \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 0^2}\) \(|\vec{a}| = \sqrt{9 + 4 + 0}\) \(|\vec{a}| = \sqrt{13}\) Ответ: Длина вектора \(|\vec{a}| = \sqrt{13}\). 7. Вычислить скалярное произведение векторов Даны векторы: \(\vec{a}(-2; 3; 7)\) и \(\vec{b}(-9; 0; 2)\). Формула для скалярного произведения векторов: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2\). Решение: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2) \cdot (-9) + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 2\) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 18 + 0 + 14\) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 32\) Ответ: Скалярное произведение векторов \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 32\). 8. Найти косинус угла между векторами Даны векторы: \(\vec{a}(2; 0; 1)\) и \(\vec{b}(-3; 1; 2)\). Формула для косинуса угла между векторами: \(\cos \alpha = \frac{x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}\) Решение: Найдем скалярное произведение: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-3) + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = -6 + 0 + 2 = -4\) Найдем длины векторов: \(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}\) \(|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}\) Теперь подставим в формулу косинуса: \(\cos \alpha = \frac{-4}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-4}{\sqrt{70}}\) Ответ: Косинус угла между векторами \(\cos \alpha = \frac{-4}{\sqrt{70}}\). 9. При каких значениях \(m\) и \(n\) векторы коллинеарны? Даны векторы: \(\vec{a}(m; 3; 1)\) и \(\vec{b}(1; n; 2)\). Условие коллинеарности векторов: \(\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} = k\). Решение: Запишем условие коллинеарности для данных векторов: \(\frac{m}{1} = \frac{3}{n} = \frac{1}{2}\) Из равенства \(\frac{m}{1} = \frac{1}{2}\) находим \(m\): \(m = \frac{1}{2}\) Из равенства \(\frac{3}{n} = \frac{1}{2}\) находим \(n\): \(3 \cdot 2 = n \cdot 1\) \(n = 6\) Ответ: Векторы коллинеарны при \(m = \frac{1}{2}\) и \(n = 6\). 10. Проверьте перпендикулярность векторов Даны векторы: \(\vec{a}(-4; 0; 1)\) и \(\vec{b}(2; 7; 8)\). Условие перпендикулярности векторов: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\), то есть \(x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 = 0\). Решение: Вычислим скалярное произведение векторов: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (-4) \cdot 2 + 0 \cdot 7 + 1 \cdot 8\) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -8 + 0 + 8\) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны. Ответ: Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны.