Решение задач на подобные треугольники с примерами

Хорошо, давайте решим три задачи по подобным треугольникам, основываясь на предоставленных изображениях.

Задача 1 (по рисунку A)

Даны два подобных треугольника: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). Известно, что отношение сторон \(BC / B_1C_1 = 3\). Стороны треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\) равны: \(A_1B_1 = 5\), \(B_1C_1 = 4\), \(A_1C_1 = 6\). Найдите длины сторон \(x\), \(y\), \(z\) треугольника \(\triangle ABC\).

Решение:

Поскольку треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) подобны, отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия. Коэффициент подобия \(k = BC / B_1C_1 = 3\). Это означает, что каждая сторона треугольника \(\triangle ABC\) в 3 раза больше соответствующей стороны треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\). 1. Найдем сторону \(x\), которая соответствует стороне \(A_1B_1\): \(x = AB = k \cdot A_1B_1\) \(x = 3 \cdot 5\) \(x = 15\) 2. Найдем сторону \(y\), которая соответствует стороне \(B_1C_1\): \(y = BC = k \cdot B_1C_1\) \(y = 3 \cdot 4\) \(y = 12\) (Обратите внимание, что это значение уже дано в условии как отношение \(BC/B_1C_1=3\), то есть \(BC = 3 \cdot B_1C_1 = 3 \cdot 4 = 12\). Это подтверждает наши расчеты.) 3. Найдем сторону \(z\), которая соответствует стороне \(A_1C_1\): \(z = AC = k \cdot A_1C_1\) \(z = 3 \cdot 6\) \(z = 18\)

Ответ:

Стороны треугольника \(\triangle ABC\) равны: \(x = 15\), \(y = 12\), \(z = 18\).

Задача 2 (по рисунку C)

Даны два подобных треугольника: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). Стороны треугольника \(\triangle ABC\) равны: \(AB = 12\), \(BC = x\), \(AC = y\). Стороны треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\) равны: \(A_1B_1 = 8\), \(B_1C_1 = 7\), \(A_1C_1 = 5\). Найдите длины сторон \(x\) и \(y\) треугольника \(\triangle ABC\).

Решение:

Поскольку треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) подобны, отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия. Мы можем найти коэффициент подобия \(k\), используя известные соответствующие стороны \(AB\) и \(A_1B_1\). 1. Найдем коэффициент подобия \(k\): \(k = AB / A_1B_1\) \(k = 12 / 8\) \(k = 3 / 2\) \(k = 1.5\) 2. Найдем сторону \(x\), которая соответствует стороне \(B_1C_1\): \(x = BC = k \cdot B_1C_1\) \(x = (3/2) \cdot 7\) \(x = 21 / 2\) \(x = 10.5\) 3. Найдем сторону \(y\), которая соответствует стороне \(A_1C_1\): \(y = AC = k \cdot A_1C_1\) \(y = (3/2) \cdot 5\) \(y = 15 / 2\) \(y = 7.5\)

Ответ:

Стороны треугольника \(\triangle ABC\) равны: \(x = 10.5\), \(y = 7.5\).

Задача 3 (по рисунку E)

Даны два подобных прямоугольных треугольника: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). Для треугольника \(\triangle ABC\) известно отношение сторон \(a:b:c = 4:3:5\), где \(a = AB\), \(b = BC\), \(c = AC\). Для треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\) известна сторона \(A_1C_1 = 20\). Стороны треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\) обозначены как \(A_1B_1 = x\), \(B_1C_1 = y\). Найдите длины сторон \(x\) и \(y\) треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\).

Решение:

Поскольку треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) подобны, отношение их сторон одинаково. Отношение сторон \(\triangle ABC\) дано как \(a:b:c = 4:3:5\). Это означает, что стороны \(\triangle ABC\) можно представить как \(AB = 4k'\), \(BC = 3k'\), \(AC = 5k'\) для некоторого коэффициента \(k'\). (Обратите внимание, что \(4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 = 5^2\), что подтверждает, что это прямоугольный треугольник, где \(AC\) - гипотенуза). Для треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\) соответствующие стороны: \(A_1B_1 = x\) соответствует \(AB = a\) \(B_1C_1 = y\) соответствует \(BC = b\) \(A_1C_1 = 20\) соответствует \(AC = c\) Так как треугольники подобны, отношение сторон \(\triangle A_1B_1C_1\) также будет \(x:y:20 = 4:3:5\). 1. Найдем коэффициент подобия \(k\) между \(\triangle A_1B_1C_1\) и "базовым" треугольником с отношением сторон 4:3:5. Мы знаем, что \(A_1C_1\) соответствует 5 частям, и ее длина равна 20. Значит, \(5 \cdot k = 20\). \(k = 20 / 5\) \(k = 4\) 2. Найдем сторону \(x\), которая соответствует 4 частям: \(x = 4 \cdot k\) \(x = 4 \cdot 4\) \(x = 16\) 3. Найдем сторону \(y\), которая соответствует 3 частям: \(y = 3 \cdot k\) \(y = 3 \cdot 4\) \(y = 12\)

Ответ:

Стороны треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\) равны: \(x = 16\), \(y = 12\).