Решение задач на подобие треугольников

Хорошо, давайте переоформим задачи в формате "Дано", "Решение", "Ответ", чтобы было удобно переписать в тетрадь. ***

Задача 1 (по рисунку A)

Дано:

Два подобных треугольника: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). Коэффициент подобия: \(BC / B_1C_1 = 3\). Стороны треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\): \(A_1B_1 = 5\) \(B_1C_1 = 4\) \(A_1C_1 = 6\) Стороны треугольника \(\triangle ABC\): \(AB = x\) \(BC = y\) \(AC = z\)

Найти:

Длины сторон \(x\), \(y\), \(z\).

Решение:

1. Поскольку треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) подобны, отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия \(k\). Из условия дано, что \(k = BC / B_1C_1 = 3\). Это означает, что каждая сторона треугольника \(\triangle ABC\) в 3 раза больше соответствующей стороны треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\). 2. Найдем сторону \(x\), которая соответствует стороне \(A_1B_1\): \(x = AB = k \cdot A_1B_1\) \(x = 3 \cdot 5\) \(x = 15\) 3. Найдем сторону \(y\), которая соответствует стороне \(B_1C_1\): \(y = BC = k \cdot B_1C_1\) \(y = 3 \cdot 4\) \(y = 12\) 4. Найдем сторону \(z\), которая соответствует стороне \(A_1C_1\): \(z = AC = k \cdot A_1C_1\) \(z = 3 \cdot 6\) \(z = 18\)

Ответ:

\(x = 15\), \(y = 12\), \(z = 18\). ***

Задача 2 (по рисунку C)

Дано:

Два подобных треугольника: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). Стороны треугольника \(\triangle ABC\): \(AB = 12\) \(BC = x\) \(AC = y\) Стороны треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\): \(A_1B_1 = 8\) \(B_1C_1 = 7\) \(A_1C_1 = 5\)

Найти:

Длины сторон \(x\) и \(y\).

Решение:

1. Поскольку треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) подобны, отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия \(k\). Найдем коэффициент подобия, используя известные соответствующие стороны \(AB\) и \(A_1B_1\): \(k = AB / A_1B_1\) \(k = 12 / 8\) \(k = 3 / 2\) \(k = 1.5\) 2. Найдем сторону \(x\), которая соответствует стороне \(B_1C_1\): \(x = BC = k \cdot B_1C_1\) \(x = (3/2) \cdot 7\) \(x = 21 / 2\) \(x = 10.5\) 3. Найдем сторону \(y\), которая соответствует стороне \(A_1C_1\): \(y = AC = k \cdot A_1C_1\) \(y = (3/2) \cdot 5\) \(y = 15 / 2\) \(y = 7.5\)

Ответ:

\(x = 10.5\), \(y = 7.5\). ***

Задача 3 (по рисунку E)

Дано:

Два подобных прямоугольных треугольника: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). Отношение сторон \(\triangle ABC\): \(a:b:c = 4:3:5\), где \(a = AB\), \(b = BC\), \(c = AC\). Стороны треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\): \(A_1B_1 = x\) \(B_1C_1 = y\) \(A_1C_1 = 20\)

Найти:

Длины сторон \(x\) и \(y\).

Решение:

1. Поскольку треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) подобны, отношение их соответствующих сторон одинаково. Отношение сторон \(\triangle ABC\) дано как \(AB:BC:AC = 4:3:5\). Это означает, что для \(\triangle A_1B_1C_1\) также справедливо отношение \(A_1B_1:B_1C_1:A_1C_1 = 4:3:5\). 2. Мы знаем, что сторона \(A_1C_1\) соответствует 5 частям в этом отношении, и ее длина равна 20. Обозначим коэффициент пропорциональности для \(\triangle A_1B_1C_1\) как \(k\). Тогда \(A_1C_1 = 5k\). \(20 = 5k\) \(k = 20 / 5\) \(k = 4\) 3. Найдем сторону \(x\), которая соответствует 4 частям: \(x = A_1B_1 = 4k\) \(x = 4 \cdot 4\) \(x = 16\) 4. Найдем сторону \(y\), которая соответствует 3 частям: \(y = B_1C_1 = 3k\) \(y = 3 \cdot 4\) \(y = 12\)

Ответ:

\(x = 16\), \(y = 12\).