Решение задач 33, 39, 44, 51

Хорошо, давайте решим задачи 33, 39, 44 и 51 с подробным решением, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Вариант 1. 33) Укажите неравенство, решением которого является любое число. Решение: Нам нужно найти такое неравенство, которое выполняется для любого значения \(x\). Рассмотрим предложенные варианты: 1) \(x^2 + 78 > 0\) 2) \(x^2 - 78 > 0\) 3) \(x^2 + 78 < 0\) 4) \(x^2 - 78 < 0\) Рассмотрим каждый вариант: 1) \(x^2 + 78 > 0\) Мы знаем, что \(x^2\) всегда больше или равно 0 для любого действительного \(x\). Тогда \(x^2 + 78\) всегда будет больше или равно \(0 + 78 = 78\). Так как \(78 > 0\), то неравенство \(x^2 + 78 > 0\) выполняется для любого действительного \(x\). Это и есть искомое неравенство. Для полноты рассмотрим остальные варианты: 2) \(x^2 - 78 > 0\) Это неравенство можно переписать как \(x^2 > 78\). Его решение: \(x < -\sqrt{78}\) или \(x > \sqrt{78}\). Это не любое число. 3) \(x^2 + 78 < 0\) Так как \(x^2 \ge 0\), то \(x^2 + 78 \ge 78\). Значит, \(x^2 + 78\) никогда не может быть меньше 0. Это неравенство не имеет решений. 4) \(x^2 - 78 < 0\) Это неравенство можно переписать как \(x^2 < 78\). Его решение: \(-\sqrt{78} < x < \sqrt{78}\). Это не любое число. Таким образом, неравенство, решением которого является любое число, это \(x^2 + 78 > 0\). Ответ: 1) \(x^2 + 78 > 0\) 39) Укажите неравенство, которое не имеет решений. Решение: Нам нужно найти такое неравенство, которое не выполняется ни для какого значения \(x\). Рассмотрим предложенные варианты: 1) \(x^2 + 6x - 51 > 0\) 2) \(x^2 + 6x - 51 < 0\) 3) \(x^2 + 6x + 51 > 0\) 4) \(x^2 + 6x + 51 < 0\) Рассмотрим каждый вариант. Для квадратных неравенств вида \(ax^2 + bx + c\) удобно найти дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(a > 0\) и \(D < 0\), то: - \(ax^2 + bx + c > 0\) имеет решением любое число. - \(ax^2 + bx + c < 0\) не имеет решений. Рассмотрим варианты 1 и 2: \(x^2 + 6x - 51\) Здесь \(a=1\), \(b=6\), \(c=-51\). Дискриминант \(D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-51) = 36 + 204 = 240\). Так как \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет два корня. Значит, он меняет знак, и оба неравенства (1 и 2) имеют решения. Рассмотрим варианты 3 и 4: \(x^2 + 6x + 51\) Здесь \(a=1\), \(b=6\), \(c=51\). Дискриминант \(D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 51 = 36 - 204 = -168\). Так как \(D < 0\) и \(a = 1 > 0\), то парабола \(y = x^2 + 6x + 51\) целиком находится выше оси \(Ox\). Это означает, что \(x^2 + 6x + 51\) всегда больше 0 для любого действительного \(x\). Следовательно: - Неравенство \(x^2 + 6x + 51 > 0\) имеет решением любое число. - Неравенство \(x^2 + 6x + 51 < 0\) не имеет решений. Таким образом, неравенство, которое не имеет решений, это \(x^2 + 6x + 51 < 0\). Ответ: 4) \(x^2 + 6x + 51 < 0\) 44) Укажите решение системы неравенств: \[ \begin{cases} x + 0,6 \le 0 \\ x - 1 \ge -4 \end{cases} \] Решение: Решим каждое неравенство по отдельности. Первое неравенство: \(x + 0,6 \le 0\) Вычтем 0,6 из обеих частей неравенства: \(x \le -0,6\) Второе неравенство: \(x - 1 \ge -4\) Прибавим 1 к обеим частям неравенства: \(x \ge -4 + 1\) \(x \ge -3\) Теперь объединим решения обоих неравенств. Нам нужно найти такие \(x\), которые удовлетворяют обоим условиям: \(x \le -0,6\) и \(x \ge -3\) Это означает, что \(x\) должен быть больше или равен -3 и одновременно меньше или равен -0,6. Запишем это в виде двойного неравенства: \(-3 \le x \le -0,6\) В интервальной записи это будет \([-3; -0,6]\). Сравним с предложенными вариантами: 1) \((-\infty; -3] \cup [-0,6; +\infty)\) 2) \((-\infty; -3]\) 3) \([-3; -0,6]\) 4) \([-0,6; +\infty)\) Наше решение совпадает с вариантом 3. Ответ: 3) \([-3; -0,6]\) 51) Укажите решение системы неравенств: \[ \begin{cases} -35 + 5x > 0 \\ 6 - 3x > -3 \end{cases} \] Решение: Решим каждое неравенство по отдельности. Первое неравенство: \(-35 + 5x > 0\) Прибавим 35 к обеим частям неравенства: \(5x > 35\) Разделим обе части на 5 (число положительное, знак неравенства не меняется): \(x > \frac{35}{5}\) \(x > 7\) Второе неравенство: \(6 - 3x > -3\) Вычтем 6 из обеих частей неравенства: \(-3x > -3 - 6\) \(-3x > -9\) Разделим обе части на -3 (число отрицательное, знак неравенства меняется на противоположный): \(x < \frac{-9}{-3}\) \(x < 3\) Теперь объединим решения обоих неравенств. Нам нужно найти такие \(x\), которые удовлетворяют обоим условиям: \(x > 7\) и \(x < 3\) Подумаем, существуют ли такие числа \(x\), которые одновременно больше 7 и меньше 3? Нет, таких чисел не существует. Если число больше 7, оно не может быть меньше 3. Следовательно, данная система неравенств не имеет решений. Сравним с предложенными вариантами, которые представлены в виде числовых прямых: 1) Числовая прямая с закрашенной областью от 3 до \(+\infty\). 2) Числовая прямая с закрашенной областью между 3 и 7 (не включая 3 и 7). 3) "нет решений" 4) Числовая прямая с закрашенной областью от 7 до \(+\infty\). Наше решение "нет решений" совпадает с вариантом 3. Ответ: 3) нет решений