ЗАДАНИЕ 1.
Построить интерполяционный полином Лагранжа для функции, заданной таблично в варианте №7. Найти приближенное значение функции \(f(x_0 + 0,05)\) и \(f(x_0 - 0,05)\) с помощью соответствующего интерполяционного полинома Лагранжа, если функция задана в равноотстоящих узлах: \(y_i = f(x_i)\); \(x_i = x_0 + i \cdot h\); \(i = \overline{0,4}\). Оценить погрешность полученного значения.
Вариант №7
| x | -1,3 | -1,0 | -0,7 | -0,4 | -0,1 |
| y | 4,921 | 3,330 | 1,624 | 2,028 | -0,840 |
РЕШЕНИЕ
1. Определим исходные данные:
У нас есть 5 точек (узлов интерполяции):
\(x_0 = -1,3\), \(y_0 = 4,921\)
\(x_1 = -1,0\), \(y_1 = 3,330\)
\(x_2 = -0,7\), \(y_2 = 1,624\)
\(x_3 = -0,4\), \(y_3 = 2,028\)
\(x_4 = -0,1\), \(y_4 = -0,840\)
Шаг \(h = x_1 - x_0 = -1,0 - (-1,3) = 0,3\).
2. Построим интерполяционный полином Лагранжа.
Интерполяционный полином Лагранжа \(L_n(x)\) для \(n+1\) точек определяется формулой:
\[L_n(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)\]где \(L_i(x)\) - базисные полиномы Лагранжа, определяемые как:
\[L_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}\]В нашем случае \(n=4\), так как у нас 5 точек.
Вычислим каждый базисный полином \(L_i(x)\):
\[L_0(x) = \frac{(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)(x_0 - x_3)(x_0 - x_4)}\]
\[L_0(x) = \frac{(x - (-1,0))(x - (-0,7))(x - (-0,4))(x - (-0,1))}{(-1,3 - (-1,0))(-1,3 - (-0,7))(-1,3 - (-0,4))(-1,3 - (-0,1))}\]
\[L_0(x) = \frac{(x + 1,0)(x + 0,7)(x + 0,4)(x + 0,1)}{(-0,3)(-0,6)(-0,9)(-1,2)}\]
\[L_0(x) = \frac{(x + 1,0)(x + 0,7)(x + 0,4)(x + 0,1)}{0,1944}\]
\[L_1(x) = \frac{(x - x_0)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_1 - x_4)}\]
\[L_1(x) = \frac{(x - (-1,3))(x - (-0,7))(x - (-0,4))(x - (-0,1))}{(-1,0 - (-1,3))(-1,0 - (-0,7))(-1,0 - (-0,4))(-1,0 - (-0,1))}\]
\[L_1(x) = \frac{(x + 1,3)(x + 0,7)(x + 0,4)(x + 0,1)}{(0,3)(-0,3)(-0,6)(-0,9)}\]
\[L_1(x) = \frac{(x + 1,3)(x + 0,7)(x + 0,4)(x + 0,1)}{0,0486}\]
\[L_2(x) = \frac{(x - x_0)(x - x_1)(x - x_3)(x - x_4)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)(x_2 - x_3)(x_2 - x_4)}\]
\[L_2(x) = \frac{(x - (-1,3))(x - (-1,0))(x - (-0,4))(x - (-0,1))}{(-0,7 - (-1,3))(-0,7 - (-1,0))(-0,7 - (-0,4))(-0,7 - (-0,1))}\]
\[L_2(x) = \frac{(x + 1,3)(x + 1,0)(x + 0,4)(x + 0,1)}{(0,6)(0,3)(-0,3)(-0,6)}\]
\[L_2(x) = \frac{(x + 1,3)(x + 1,0)(x + 0,4)(x + 0,1)}{-0,0324}\]
\[L_3(x) = \frac{(x - x_0)(x - x_1)(x - x_2)(x - x_4)}{(x_3 - x_0)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)(x_3 - x_4)}\]
\[L_3(x) = \frac{(x - (-1,3))(x - (-1,0))(x - (-0,7))(x - (-0,1))}{(-0,4 - (-1,3))(-0,4 - (-1,0))(-0,4 - (-0,7))(-0,4 - (-0,1))}\]
\[L_3(x) = \frac{(x + 1,3)(x + 1,0)(x + 0,7)(x + 0,1)}{(0,9)(0,6)(0,3)(-0,3)}\]
\[L_3(x) = \frac{(x + 1,3)(x + 1,0)(x + 0,7)(x + 0,1)}{-0,0486}\]
\[L_4(x) = \frac{(x - x_0)(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)}{(x_4 - x_0)(x_4 - x_1)(x_4 - x_2)(x_4 - x_3)}\]
\[L_4(x) = \frac{(x - (-1,3))(x - (-1,0))(x - (-0,7))(x - (-0,4))}{(-0,1 - (-1,3))(-0,1 - (-1,0))(-0,1 - (-0,7))(-0,1 - (-0,4))}\]
\[L_4(x) = \frac{(x + 1,3)(x + 1,0)(x + 0,7)(x + 0,4)}{(1,2)(0,9)(0,6)(0,3)}\]
\[L_4(x) = \frac{(x + 1,3)(x + 1,0)(x + 0,7)(x + 0,4)}{0,1944}\]
Теперь соберем полином Лагранжа:
\[L_4(x) = y_0 L_0(x) + y_1 L_1(x) + y_2 L_2(x) + y_3 L_3(x) + y_4 L_4(x)\]
\[L_4(x) = 4,921 \cdot \frac{(x + 1,0)(x + 0,7)(x + 0,4)(x + 0,1)}{0,1944} + 3,330 \cdot \frac{(x + 1,3)(x + 0,7)(x + 0,4)(x + 0,1)}{0,0486} + 1,624 \cdot \frac{(x + 1,3)(x + 1,0)(x + 0,4)(x + 0,1)}{-0,0324} + 2,028 \cdot \frac{(x + 1,3)(x + 1,0)(x + 0,7)(x + 0,1)}{-0,0486} + (-0,840) \cdot \frac{(x + 1,3)(x + 1,0)(x + 0,7)(x + 0,4)}{0,1944}\]
3. Найдем приближенные значения функции.
Нам нужно найти \(f(x_0 + 0,05)\) и \(f(x_0 - 0,05)\).
\(x_0 = -1,3\).
Первое значение: \(x_{new1} = x_0 + 0,05 = -1,3 + 0,05 = -1,25\).
Второе значение: \(x_{new2} = x_0 - 0,05 = -1,3 - 0,05 = -1,35\).
Вычислим \(L_4(-1,25)\):
Для \(x = -1,25\):
\(x+1,0 = -0,25\)
\(x+0,7 = -0,55\)
\(x+0,4 = -0,85\)
\(x+0,1 = -1,15\)
\(x+1,3 = 0,05\)
\[L_0(-1,25) = \frac{(-0,25)(-0,55)(-0,85)(-1,15)}{0,1944} = \frac{0,13409375}{0,1944} \approx 0,68978\)
\[L_1(-1,25) = \frac{(0,05)(-0,55)(-0,85)(-1,15)}{0,0486} = \frac{-0,02703125}{0,0486} \approx -0,55620\)
\[L_2(-1,25) = \frac{(0,05)(-0,25)(-0,85)(-1,15)}{-0,0324} = \frac{0,01221875}{-0,0324} \approx -0,37712\)
\[L_3(-1,25) = \frac{(0,05)(-0,25)(-0,55)(-1,15)}{-0,0486} = \frac{-0,00790625}{-0,0486} \approx 0,16268\)
\[L_4(-1,25) = \frac{(0,05)(-0,25)(-0,55)(-0,85)}{0,1944} = \frac{0,00584375}{0,1944} \approx 0,03006\)
\[L_4(-1,25) = 4,921 \cdot 0,68978 + 3,330 \cdot (-0,55620) + 1,624 \cdot (-0,37712) + 2,028 \cdot 0,16268 + (-0,840) \cdot 0,03006\]
\[L_4(-1,25) \approx 3,3949 - 1,8524 - 0,6122 + 0,3302 - 0,0252\]
\[L_4(-1,25) \approx 1,2353\]
Вычислим \(L_4(-1,35)\):
Для \(x = -1,35\):
\(x+1,0 = -0,35\)
\(x+0,7 = -0,65\)
\(x+0,4 = -0,95\)
\(x+0,1 = -1,25\)
\(x+1,3 = -0,05\)
\[L_0(-1,35) = \frac{(-0,35)(-0,65)(-0,95)(-1,25)}{0,1944} = \frac{0,2703125}{0,1944} \approx 1,39049\)
\[L_1(-1,35) = \frac{(-0,05)(-0,65)(-0,95)(-1,25)}{0,0486} = \frac{-0,03859375}{0,0486} \approx -0,79411\)
\[L_2(-1,35) = \frac{(-0,05)(-0,35)(-0,95)(-1,25)}{-0,0324} = \frac{-0,02084375}{-0,0324} \approx 0,64332\)
\[L_3(-1,35) = \frac{(-0,05)(-0,35)(-0,65)(-1,25)}{-0,0486} = \frac{0,01421875}{-0,0486} \approx -0,29257\)
\[L_4(-1,35) = \frac{(-0,05)(-0,35)(-0,65)(-0,95)}{0,1944} = \frac{-0,01080625}{0,1944} \approx -0,05559\)
\[L_4(-1,35) = 4,921 \cdot 1,39049 + 3,330 \cdot (-0,79411) + 1,624 \cdot 0,64332 + 2,028 \cdot (-0,29257) + (-0,840) \cdot (-0,05559)\]
\[L_4(-1,35) \approx 6,8419 - 2,6444 + 1,0441 - 0,5933 + 0,0467\]
\[L_4(-1,35) \approx 4,6950\]
4. Оценим погрешность.
Для оценки погрешности интерполяции полиномом Лагранжа, если известна \(n+1\)-я производная функции