Задача 1 (соответствует рисункам A и B)
Дано:
Имеются два треугольника: ABC и A1B1C1.
Стороны треугольника ABC обозначены: AB = x, BC = y, AC = z.
Стороны треугольника A1B1C1 известны: A1B1 = 5, B1C1 = 4, A1C1 = 6.
Известно, что треугольники ABC и A1B1C1 подобны.
Также дано отношение одной из соответствующих сторон: BC / B1C1 = 3.
Найти:
Длины сторон x, y, z треугольника ABC.
Решение:
1. Понимание подобия треугольников: Если два треугольника подобны, это означает, что их соответствующие углы равны, а отношения длин соответствующих сторон одинаковы. Это отношение называется коэффициентом подобия.
2. Определение коэффициента подобия: Нам дано отношение сторон BC и B1C1, которые являются соответствующими сторонами в подобных треугольниках. Это отношение и есть коэффициент подобия \(k\).
\(k = \frac{BC}{B1C1} = 3\)
3. Нахождение сторон треугольника ABC: Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти длины всех сторон треугольника ABC. Для этого нужно умножить длины соответствующих сторон треугольника A1B1C1 на коэффициент подобия \(k\).
a) Сторона AB (обозначенная как x) соответствует стороне A1B1.
\(x = AB = k \cdot A1B1 = 3 \cdot 5 = 15\)
b) Сторона BC (обозначенная как y) соответствует стороне B1C1. (Мы уже знаем это отношение, но можем перепроверить).
\(y = BC = k \cdot B1C1 = 3 \cdot 4 = 12\)
c) Сторона AC (обозначенная как z) соответствует стороне A1C1.
\(z = AC = k \cdot A1C1 = 3 \cdot 6 = 18\)
Ответ:
Длины сторон треугольника ABC равны:
\(x = 15\)
\(y = 12\)
\(z = 18\)
***Задача 2 (соответствует рисункам C и D)
Дано:
Имеются два треугольника: ABC и A1B1C1.
Стороны треугольника ABC: AB = 12, BC = x, AC = y.
Стороны треугольника A1B1C1: A1B1 = 8, B1C1 = 7, A1C1 = 5.
Известно, что треугольники ABC и A1B1C1 подобны.
Найти:
Длины сторон x, y треугольника ABC.
Решение:
1. Понимание подобия треугольников: Как и в предыдущей задаче, если треугольники подобны, то отношение их соответствующих сторон постоянно и равно коэффициенту подобия.
2. Определение коэффициента подобия: У нас есть длины двух соответствующих сторон: AB из треугольника ABC и A1B1 из треугольника A1B1C1. Используем их для нахождения коэффициента подобия \(k\).
\(k = \frac{AB}{A1B1} = \frac{12}{8}\)
Упростим дробь:
\(k = \frac{12 \div 4}{8 \div 4} = \frac{3}{2} = 1.5\)
3. Нахождение неизвестных сторон треугольника ABC: Теперь, зная коэффициент подобия \(k = 1.5\), мы можем найти длины неизвестных сторон треугольника ABC, умножив длины соответствующих сторон треугольника A1B1C1 на \(k\).
a) Сторона BC (обозначенная как x) соответствует стороне B1C1.
\(x = BC = k \cdot B1C1 = 1.5 \cdot 7 = 10.5\)
b) Сторона AC (обозначенная как y) соответствует стороне A1C1.
\(y = AC = k \cdot A1C1 = 1.5 \cdot 5 = 7.5\)
Ответ:
Длины сторон треугольника ABC равны:
\(x = 10.5\)
\(y = 7.5\)
***Задача 3 (соответствует рисункам E и K)
Дано:
Имеются два прямоугольных треугольника: ABC и A1B1C1.
Для треугольника ABC дано отношение его сторон: a : b : c = 4 : 3 : 5. Здесь 'a' - катет AB, 'c' - катет AC, 'b' - гипотенуза BC. (Важно: для прямоугольного треугольника с катетами 'a' и 'c' и гипотенузой 'b' должно выполняться \(a^2 + c^2 = b^2\). Если a:b:c = 4:3:5, то \( (4k)^2 + (5k)^2 = (3k)^2 \) не выполняется. Это означает, что отношение дано для катетов и гипотенузы в порядке, например, катет:катет:гипотенуза. Исходя из стандартной пифагоровой тройки 3:4:5, где 3 и 4 - катеты, а 5 - гипотенуза, и рисунка, где AB и AC - катеты, а BC - гипотенуза, мы будем считать, что отношение катета AB к катету AC к гипотенузе BC равно 4:3:5. То есть, AB : AC : BC = 4 : 3 : 5.)
Для треугольника A1B1C1 известна длина одного катета: A1C1 = 20. Неизвестные стороны: катет A1B1 = x, гипотенуза B1C1 = y.
Известно, что треугольники ABC и A1B1C1 подобны.
Найти:
Длины сторон x, y треугольника A1B1C1.
Решение:
1. Интерпретация отношения сторон: Мы принимаем, что отношение сторон a:c:b = 4:3:5 означает, что катет AB (a) относится к катету AC (c) как 4 к 3, а гипотенуза BC (b) относится к ним как 5. Это соответствует пифагоровой тройке, так как \(4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 = 5^2\).
Значит, в любом подобном треугольнике, таком как A1B1C1, стороны будут относиться так же:
A1B1 : A1C1 : B1C1 = 4 : 3 : 5
2. Определение "части" длины: Нам известна длина катета A1C1 = 20. В нашем отношении A1C1 соответствует "3 частям".
Пусть одна "часть" длины равна \(k_1\).
Тогда \(A1C1 = 3 \cdot k_1\).
Подставляем известное значение:
\(20 = 3 \cdot k_1\)
Находим значение одной части:
\(k_1 = \frac{20}{3}\)
3. Нахождение неизвестных сторон треугольника A1B1C1: Теперь, зная значение одной "части" \(k_1\), мы можем найти длины остальных сторон треугольника A1B1C1.
a) Катет A1B1 (обозначенный как x) соответствует "4 частям" в нашем отношении.
\(x = A1B1 = 4 \cdot k_1 = 4 \cdot \frac{20}{3} = \frac{80}{3}\)
Можно также записать в виде смешанной дроби: \(x = 26 \frac{2}{3}\)
b) Гипотенуза B1C1 (обозначенная как y) соответствует "5 частям" в нашем отношении.
\(y = B1C1 = 5 \cdot k_1 = 5 \cdot \frac{20}{3} = \frac{100}{3}\)
Можно также записать в виде смешанной дроби: \(y = 33 \frac{1}{3}\)
4. Проверка (необязательно, но полезно): Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для найденных сторон:
\(A1B1^2 + A1C1^2 = B1C1^2\)
\((\frac{80}{3})^2 + (20)^2 = (\frac{100}{3})^2\)
\(\frac{6400}{9} + 400 = \frac{10000}{9}\)
Приведем 400 к общему знаменателю:
\(400 = \frac{400 \cdot 9}{9} = \frac{3600}{9}\)
\(\frac{6400}{9} + \frac{3600}{9} = \frac{10000}{9}\)
\(\frac{10000}{9} = \frac{10000}{9}\)
Проверка подтверждает, что наши расчеты верны.
Ответ:
Длины сторон треугольника A1B1C1 равны:
\(x = \frac{80}{3}\) (или \(26 \frac{2}{3}\))
\(y = \frac{100}{3}\) (или \(33 \frac{1}{3}\))