Краткий конспект: Степенная и дробно-линейная функция (10 класс)

Вот краткий конспект по теме "Степенная функция. Дробно-линейная функция" для 10 класса. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс Урок №18. Степенная функция. Дробно-линейная функция. Перечень вопросов, рассматриваемых в теме: 1. Понятие степенной функции. 2. Основные свойства функций \(y = x^{2n}\) и \(y = x^{2n+1}\). 3. Понятия взаимно обратной и дробно-линейной функций. 4. Особенности построения графика дробно-линейной функции. Глоссарий по теме: Определение. Функция вида \(y = x^n\), где \(n\) – любое действительное число, называется степенной функцией. Определение. Функцию \(y = f(x)\), \(x \in X\) называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества \(X\) (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции). Теоретический материал для самостоятельного изучения: 1. Степенная функция с натуральным показателем \(n\): * Формула: \(y = x^n\). * При \(n = 1\), \(y = x^1\) или \(y = x\) – прямая (Рисунок 1). * При \(n = 2\), \(y = x^2\) – парабола. * При \(n = 3\), \(y = x^3\) – кубическая парабола. * Если \(n\) – чётное число (4, 6, 8...), график принимает вид параболы (Рисунок 2). * Если \(n\) – нечётное число (5, 7, 9...), график принимает вид кубической параболы (Рисунок 3). 2. Степенная функция с целым отрицательным показателем \(n\): * Формула: \(y = x^{-n}\) или \(y = \frac{1}{x^n}\). * В случае, когда \(n\) – чётное число (4, 6, 8...), график принимает вид, похожий на \(y = x^{-4}\) или \(y = x^{-8}\) (Рисунок 4). * В случае, когда \(n\) – нечётное число (5, 7, 9...), график принимает вид гиперболы, похожий на \(y = x^{-5}\) или \(y = x^{-11}\) (Рисунок 5). * Функции такого вида называются дробно-линейными. 3. Степенные функции с положительным дробным показателем \(m/n\): * Степенная функция \(y = x^{m/n}\), где \(\frac{m}{n} > 1\) (неправильная дробь, числитель больше знаменателя). * График – ветвь параболы (Рисунок 6). * Свойства функции \(y = x^{m/n}\), где \(\frac{m}{n} > 1\): 1. Область определения \(D(f) = [0; +\infty)\). 2. Множество значений \(E(f) = [0; +\infty)\). 3. Не является ни чётной, ни нечётной. 4. Возрастает при \(x \in [0; +\infty)\). 5. Не имеет наибольшего значения, \(y_{наим} = 0\). 6. Не ограничена сверху, ограничена снизу. 7. Выпукла вниз. 8. Непрерывна. * Степенная функция \(y = x^{m/n}\), где \(0 < \frac{m}{n} < 1\) (правильная дробь, числитель меньше знаменателя). * График (Рисунок 7). * Свойства функции \(y = x^{m/n}\), где \(0 < \frac{m}{n} < 1\): 1. Область определения \(D(f) = [0; +\infty)\). 2. Множество значений \(E(f) = [0; +\infty)\). 3. Не является ни чётной, ни нечётной. 4. Возрастает при \(x \in [0; +\infty)\). 5. Не имеет наибольшего значения, \(y_{наим} = 0\). 6. Не ограничена сверху, ограничена снизу. 7. Выпукла вверх. 8. Непрерывна. 4. Степенные функции с отрицательным дробным показателем степени \(y = x^{-m/n}\). * График – ветвь гиперболы (Рисунок 8). * График имеет горизонтальную асимптоту \(y = 0\) и вертикальную асимптоту \(x = 0\). * Свойства функции \(y = x^{-m/n}\): 1. Область определения \(D(f) = (0; +\infty)\). 2. Множество значений \(E(f) = (0; +\infty)\). 3. Не является ни чётной, ни нечётной. 4. Убывает при \(x \in (0; +\infty)\). 5. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения. 6. Не ограничена сверху, ограничена снизу. 7. Выпукла вниз. 8. Непрерывна. Вывод (Таблица 1): | Функция \(y = x^p\) | Область определения | Множество значений | Чётность | Возрастает | Убывает | |---|---|---|---|---|---| | \(p = 2n\), \(n \in N\) | \(R\) | \(y \ge 0\) | чётная | \(x \ge 0\) | \(x \le 0\) | | \(p = 2n - 1\), \(n \in N\) | \(R\) | \(R\) | нечётная | \(x \in R\) | - | | \(p = -2n\), \(n \in N\) | \(R\), \(x \ne 0\) | \(y > 0\) | чётная | \(x < 0\) | \(x > 0\) | | \(p = -(2n - 1)\), \(n \in N\) | \(R\), \(x \ne 0\) | \(R\), \(y \ne 0\) | нечётная | \(x < 0\), \(x > 0\) | - | | \(p > 0\), \(p \in R\), \(p\) – нецелое | \(x \ge 0\) | \(y \ge 0\) | - | \(x \ge 0\) | - | | \(p < 0\), \(p \in R\), \(p\) – нецелое | \(x > 0\) | \(y > 0\) | - | - | \(x > 0\) | Обратная функция: Определение. Функцию \(y = f(x)\), \(x \in X\) называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества \(X\). Теорема 1. Если функция \(y = f(x)\), \(x \in X\) монотонна на множестве \(X\), то она обратима. Теорема 2. Если функция \(y = f(x)\) возрастает (убывает) на множестве \(X\), а \(Y\) – область значений функции, то обратная функция \(x = f^{-1}(y)\), \(y \in Y\) возрастает (убывает) на множестве \(Y\). Теорема 3. Точки \(M(a;b)\) и \(P(b;a)\) симметричны относительно прямой \(y = x\). Нахождение формулы для функции, обратной данной: Пользуясь формулой \(y = f(x)\), следует выразить \(x\) через \(y\), а в полученной формуле \(x = g(y)\) заменить \(x\) на \(y\), а \(y\) на \(x\). Пример: Дана функция \(y = x^2\), \(x \in [0; +\infty)\). Найти обратную функцию. Заданная функция возрастает на промежутке \([0; +\infty)\), значит, она имеет обратную функцию. Из уравнения \(y = x^2\) находим: \(x = \sqrt{y}\) или \(x = -\sqrt{y}\). Промежутку \([0; +\infty)\) принадлежит лишь значения \(x = \sqrt{y}\). Это и есть обратная функция, которая определена на промежутке \([0; +\infty)\). Поменяв местами \(x\) и \(y\), получим: \(y = \sqrt{x}\), \(x \in [0; +\infty)\). График этой функции получается из графика функции \(y = x^2\), \(x \in [0; +\infty)\) с помощью симметрии относительно прямой \(y = x\) (Рисунок 9). Разборы и примеры решения заданий тренировочного модуля: №1. Изобразите схематически график функции \(y = \frac{-4}{x+4}\). Графиком данной функции является гипербола. Возьмем точки: | \(X\) | -3 | -5 | -2 | -6 | 0 | -8 | |---|---|---|---|---|---|---| | \(Y\) | -4 | 4 | -2 | 2 | -1 | 1 | Верный ответ: (Рисунок 10). №2. Выделите возрастающую функцию \(y = x^p\) при \(x > 0\), если: 1. \(p = 8\) 2. \(p = -9\) 3. \(p = -5\) 4. \(p = 3\) 5. \(p = 4\) 6. \(p = 11\) Применим данную таблицу к решению нашего задания (Таблица 1 – выводы). При \(p > 0\) функция возрастает. Соответственно, верный ответ: 1. \(p = 8\) 4. \(p = 3\) 5. \(p = 4\) 6. \(p = 11\)