Ниже представлены решения задач с краткими записями в виде таблиц, оформленные для удобного переписывания в тетрадь.
Задача 440
Краткая запись:
| Металл |
Масса (m), г |
Объем (V), \(см^3\) |
Плотность (\(\rho\)), \(г/см^3\) |
| Олово |
356 |
\(x\) |
\(\frac{356}{x}\) |
| Медь |
438 |
\(x + 20\) |
\(\frac{438}{x + 20}\) |
Решение:
По условию плотность олова на 1,6 \(г/см^3\) больше плотности меди. Составим уравнение:
\[ \frac{356}{x} - \frac{438}{x + 20} = 1,6 \]
Умножим обе части на \(x(x + 20)\), при условии \(x \neq 0\) и \(x \neq -20\):
\[ 356(x + 20) - 438x = 1,6x(x + 20) \]
\[ 356x + 7120 - 438x = 1,6x^2 + 32x \]
\[ -82x + 7120 = 1,6x^2 + 32x \]
\[ 1,6x^2 + 114x - 7120 = 0 \]
Разделим на 0,2 для упрощения:
\[ 8x^2 + 570x - 35600 = 0 \]
\[ D = 570^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-35600) = 324900 + 1139200 = 1464100 = 1210^2 \]
\[ x_1 = \frac{-570 + 1210}{16} = \frac{640}{16} = 40 \]
\[ x_2 = \frac{-570 - 1210}{16} < 0 \text{ (не подходит по смыслу)} \]
Объем олова \(V_1 = 40\) \(см^3\).
Объем меди \(V_2 = 40 + 20 = 60\) \(см^3\).
Ответ: 40 \(см^3\), 60 \(см^3\).
Задача 441
Краткая запись:
| Раствор |
Масса соли, г |
Масса воды, г |
Масса раствора, г |
Концентрация |
| Исходный |
50 |
\(x\) |
\(50 + x\) |
\(\frac{50}{50 + x}\) |
| Новый |
50 |
\(x + 150\) |
\(200 + x\) |
\(\frac{50}{200 + x}\) |
Решение:
7,5% это 0,075 в виде десятичной дроби. Составим уравнение:
\[ \frac{50}{50 + x} - \frac{50}{200 + x} = 0,075 \]
\[ \frac{50(200 + x) - 50(50 + x)}{(50 + x)(200 + x)} = 0,075 \]
\[ \frac{10000 + 50x - 2500 - 50x}{x^2 + 250x + 10000} = 0,075 \]
\[ 7500 = 0,075(x^2 + 250x + 10000) \]
Разделим на 0,075:
\[ 100000 = x^2 + 250x + 10000 \]
\[ x^2 + 250x - 90000 = 0 \]
По теореме Виета:
\[ x_1 = 200, x_2 = -450 \text{ (не подходит)} \]
Масса воды была 200 г.
Концентрация: \(\frac{50}{50 + 200} = \frac{50}{250} = 0,2\) или 20%.
Ответ: 200 г воды, 20%.
Задача 442
Краткая запись:
| Раствор |
Масса раствора, г |
Концентрация |
Масса вещества, г |
| Первый |
\(m_1\) |
0,7 |
\(0,7m_1\) |
| Второй |
\(m_2\) |
0,3 |
\(0,3m_2\) |
| Смесь |
\(m_1 + m_2\) |
0,4 |
\(0,4(m_1 + m_2)\) |
Решение:
Сумма масс вещества в исходных растворах равна массе вещества в смеси:
\[ 0,7m_1 + 0,3m_2 = 0,4(m_1 + m_2) \]
\[ 0,7m_1 + 0,3m_2 = 0,4m_1 + 0,4m_2 \]
Перенесем слагаемые с \(m_1\) влево, а с \(m_2\) вправо:
\[ 0,7m_1 - 0,4m_1 = 0,4m_2 - 0,3m_2 \]
\[ 0,3m_1 = 0,1m_2 \]
Найдем отношение массы первого раствора к массе второго:
\[ \frac{m_1}{m_2} = \frac{0,1}{0,3} = \frac{1}{3} \]
Ответ: 1 : 3.
