Розв'язання: Логарифмічні рівняння і нерівності

Добре, ось розв'язання завдань українською мовою, оформлене так, щоб було зручно переписати в зошит. Контрольна робота: "Логарифмічні рівняння і нерівності" 1. Якому із зазначених проміжків належить корінь рівняння: \( \log_3 (x+1) = 1 \)? Розв'язання: \[ \log_3 (x+1) = 1 \] За означенням логарифма: \[ x+1 = 3^1 \] \[ x+1 = 3 \] \[ x = 3-1 \] \[ x = 2 \] Перевіримо ОДЗ: \( x+1 > 0 \Rightarrow x > -1 \). Корінь \( x=2 \) задовольняє ОДЗ. Тепер визначимо, якому проміжку належить \( x=2 \). А: \( (0; 2) \) – не включає 2. Б: \( (0; 3] \) – включає 2. В: \( (3; 4] \) – не включає 2. Г: \( (4; 5] \) – не включає 2. Д: \( (5; 6] \) – не включає 2. Відповідь: Б. 2. Розв'яжіть нерівність: \( \log_7 (x-2) \le 0 \). Розв'язання: \[ \log_7 (x-2) \le 0 \] ОДЗ: \( x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 \). Представимо 0 як логарифм за основою 7: \( 0 = \log_7 1 \). \[ \log_7 (x-2) \le \log_7 1 \] Оскільки основа логарифма \( 7 > 1 \), функція \( y = \log_7 t \) зростаюча, тому знак нерівності зберігається: \[ x-2 \le 1 \] \[ x \le 1+2 \] \[ x \le 3 \] Враховуючи ОДЗ \( x > 2 \), отримуємо: \[ 2 < x \le 3 \] Це проміжок \( (2; 3] \). Відповідь: Д. 3. Знайдіть значення добутку \( x_0 \cdot y_0 \), де пара чисел \( (x_0; y_0) \) є рішенням системи рівнянь: \[ \begin{cases} \log_5 (x+y) = 0 \\ \log_3 (x-y) = 1 \end{cases} \] Розв'язання: Розв'яжемо перше рівняння: \[ \log_5 (x+y) = 0 \] За означенням логарифма: \[ x+y = 5^0 \] \[ x+y = 1 \] Розв'яжемо друге рівняння: \[ \log_3 (x-y) = 1 \] За означенням логарифма: \[ x-y = 3^1 \] \[ x-y = 3 \] Отримали систему лінійних рівнянь: \[ \begin{cases} x+y = 1 \\ x-y = 3 \end{cases} \] Додамо рівняння: \( (x+y) + (x-y) = 1+3 \) \( 2x = 4 \) \( x = 2 \) Підставимо \( x=2 \) у перше рівняння: \( 2+y = 1 \) \( y = 1-2 \) \( y = -1 \) Отже, \( (x_0; y_0) = (2; -1) \). Знайдемо добуток \( x_0 \cdot y_0 \): \( x_0 \cdot y_0 = 2 \cdot (-1) = -2 \). Відповідь: Б. 4. Розв'яжіть нерівність: \( \log_{0,5} (x-2) \ge -1 \). Розв'язання: \[ \log_{0,5} (x-2) \ge -1 \] ОДЗ: \( x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 \). Представимо \( -1 \) як логарифм за основою \( 0,5 \): \( -1 = \log_{0,5} (0,5)^{-1} = \log_{0,5} 2 \). \[ \log_{0,5} (x-2) \ge \log_{0,5} 2 \] Оскільки основа логарифма \( 0 < 0,5 < 1 \), функція \( y = \log_{0,5} t \) спадна, тому знак нерівності змінюється на протилежний: \[ x-2 \le 2 \] \[ x \le 2+2 \] \[ x \le 4 \] Враховуючи ОДЗ \( x > 2 \), отримуємо: \[ 2 < x \le 4 \] Це проміжок \( (2; 4] \). Відповідь: В. 5. Установіть відповідність між виразом і його значенням: 1. \( \log_5 \log_2 \log_3 36 \) Помилка в умові, ймовірно, мало бути \( \log_5 \log_2 32 \). Якщо так, то: \( \log_5 \log_2 32 = \log_5 5 = 1 \). Якщо ж \( \log_5 \log_2 \log_3 36 \), то \( \log_3 36 \) не є цілим числом, і подальші логарифми будуть складними. Припустимо, що це \( \log_5 \log_2 32 \). Тоді \( \log_2 32 = 5 \). \( \log_5 5 = 1 \). Відповідність: 1 - В (2). Це не сходиться з варіантами. Можливо, мало бути \( \log_5 \log_2 32 \). Тоді \( \log_2 32 = 5 \). \( \log_5 5 = 1 \). Якщо ж \( \log_5 \log_2 36 \), то \( \log_2 36 \) не є цілим числом. Давайте припустимо, що в першому виразі є помилка і він мав би давати одне з чисел А, Б, В, Г. Якщо це \( \log_5 \log_2 32 \), то значення 1. Якщо це \( \log_5 \log_2 1024 \), то \( \log_2 1024 = 10 \). \( \log_5 10 \) не є цілим. Якщо це \( \log_5 \log_2 25 \), то \( \log_2 25 \) не є цілим. Якщо це \( \log_5 \log_2 16 \), то \( \log_2 16 = 4 \). \( \log_5 4 \) не є цілим. Якщо це \( \log_5 \log_2 256 \), то \( \log_2 256 = 8 \). \( \log_5 8 \) не є цілим. Якщо це \( \log_5 \log_2 625 \), то \( \log_2 625 \) не є цілим. Припустимо, що перший вираз мав бути \( \log_5 \log_2 32 \). Тоді значення 1. Або, можливо, \( \log_5 \log_2 1024 \). Тоді \( \log_2 1024 = 10 \). \( \log_5 10 \) не є цілим. Давайте перевіримо інші варіанти. 2. \( \log_6 3 + \log_6 12 \) За властивістю логарифмів: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \). \( \log_6 3 + \log_6 12 = \log_6 (3 \cdot 12) = \log_6 36 \). Оскільки \( 6^2 = 36 \), то \( \log_6 36 = 2 \). Відповідність: 2 - В (2). 3. \( e^{2 \ln 2} \) За властивістю логарифмів: \( a \ln b = \ln b^a \). \( e^{2 \ln 2} = e^{\ln 2^2} = e^{\ln 4} \). За основною логарифмічною тотожністю: \( e^{\ln x} = x \). \( e^{\ln 4} = 4 \). Відповідність: 3 - Б (4). Отже, маємо: 2 - В (2) 3 - Б (4) Залишається 1. Якщо 1 відповідає А (10) або Г (0). Якщо 1 - А (10), то \( \log_5 \log_2 \log_3 36 = 10 \). Це дуже малоймовірно. Якщо 1 - Г (0), то \( \log_5 \log_2 \log_3 36 = 0 \). Це означає \( \log_2 \log_3 36 = 1 \), тобто \( \log_3 36 = 2 \). Але \( 3^2 = 9 \), а не 36. Ймовірно, в першому виразі є помилка. Якщо припустити, що це \( \log_5 \log_2 32 \), то значення 1. Якщо припустити, що це \( \log_5 \log_2 1024 \), то \( \log_2 1024 = 10 \). Тоді \( \log_5 10 \) не є цілим. Якщо припустити, що це \( \log_5 \log_2 25 \), то \( \log_2 25 \) не є цілим. Якщо це \( \log_5 \log_2 16 \), то \( \log_2 16 = 4 \). \( \log_5 4 \) не є цілим. Якщо це \( \log_5 \log_2 625 \), то \( \log_2 625 \) не є цілим. Якщо це \( \log_5 \log_2 5 \), то \( \log_2 5 \) не є цілим. Якщо це \( \log_5 \log_2 2 \), то \( \log_2 2 = 1 \). \( \log_5 1 = 0 \). Отже, якщо 1. \( \log_5 \log_2 2 \), то значення 0. Тоді: 1 - Г (0) 2 - В (2) 3 - Б (4) Це виглядає найбільш логічно, припускаючи, що в першому виразі була помилка і замість \( \log_3 36 \) мало бути \( \log_2 2 \). Відповідь: 1 - Г 2 - В 3 - Б 6. Установіть відповідність між рівнянням і рівносильним йому рівнянням: 1. \( \log_7 (x+4) = 1 \) ОДЗ: \( x+4 > 0 \Rightarrow x > -4 \). За означенням логарифма: \( x+4 = 7^1 \Rightarrow x+4 = 7 \Rightarrow x = 3 \). Рівняння \( |x|=3 \) має корені \( x=3 \) та \( x=-3 \). Рівняння \( x-3=0 \) має корінь \( x=3 \). Рівняння \( x+3=0 \) має корінь \( x=-3 \). Отже, \( x=3 \) є коренем рівняння \( x-3=0 \) та \( |x|=3 \). Але рівносильність означає, що множини розв'язків збігаються. Для \( \log_7 (x+4) = 1 \) розв'язок \( x=3 \). Для \( |x|=3 \) розв'язки \( x=3, x=-3 \). Не рівносильні. Для \( x-3=0 \) розв'язок \( x=3 \). Рівносильні. 2. \( \log_2 (x^2-5) = 2 \) ОДЗ: \( x^2-5 > 0 \Rightarrow x^2 > 5 \Rightarrow x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty) \). За означенням логарифма: \( x^2-5 = 2^2 \Rightarrow x^2-5 = 4 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \). Обидва корені \( x=3 \) та \( x=-3 \) задовольняють ОДЗ, оскільки \( 3^2=9 > 5 \) та \( (-3)^2=9 > 5 \). Рівняння \( |x|=3 \) має корені \( x=3 \) та \( x=-3 \). Рівносильні. 3. \( \log_7 (x-1) = 1 + \log_7 (1-x) \) ОДЗ: \( x-1 > 0 \) та \( 1-x > 0 \). \( x > 1 \) та \( x < 1 \). Ці умови суперечать одна одній, тому ОДЗ порожня. Отже, рівняння не має розв'язків. Рівняння \( |x|=-3 \) не має розв'язків, оскільки модуль завжди невід'ємний. Рівносильні. Відповідність: 1 - Б (x-3=0) 2 - В (|x|=3) 3 - А (|x|=-3) 7. Розв'яжіть рівняння: а) \( 2 \log_{0,5} x = \log_{0,5} (2x^2-x) \) Розв'язання: ОДЗ: 1) \( x > 0 \) 2) \( 2x^2-x > 0 \Rightarrow x(2x-1) > 0 \). Це виконується при \( x < 0 \) або \( x > 1/2 \). Враховуючи обидві умови, ОДЗ: \( x > 1/2 \). Перепишемо ліву частину рівняння: \( \log_{0,5} x^2 = \log_{0,5} (2x^2-x) \) Оскільки основи логарифмів однакові, прирівняємо аргументи: \( x^2 = 2x^2-x \) \( 0 = 2x^2 - x^2 - x \) \( 0 = x^2 - x \) \( x(x-1) = 0 \) Можливі корені: \( x=0 \) або \( x=1 \). Перевіримо корені на відповідність ОДЗ \( x > 1/2 \): \( x=0 \) не задовольняє ОДЗ. \( x=1 \) задовольняє ОДЗ. Відповідь: \( x=1 \). б) \( \lg (3-x) - \lg (x+2) = 2 \lg 2 \) Розв'язання: ОДЗ: 1) \( 3-x > 0 \Rightarrow x < 3 \) 2) \( x+2 > 0 \Rightarrow x > -2 \) Враховуючи обидві умови, ОДЗ: \( -2 < x < 3 \). Перепишемо рівняння, використовуючи властивості логарифмів: \( \lg \frac{3-x}{x+2} = \lg 2^2 \) \( \lg \frac{3-x}{x+2} = \lg 4 \) Оскільки основи логарифмів однакові, прирівняємо аргументи: \( \frac{3-x}{x+2} = 4 \) \( 3-x = 4(x+2) \) \( 3-x = 4x+8 \) \( 3-8 = 4x+x \) \( -5 = 5x \) \( x = -1 \) Перевіримо корінь на відповідність ОДЗ \( -2 < x < 3 \): \( x=-1 \) задовольняє ОДЗ. Відповідь: \( x