Задача 3. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 5, а высота равна \( \sqrt{3} \).
Дано:
- Пирамида правильная треугольная.
- Сторона основания \( a = 5 \).
- Высота пирамиды \( h = \sqrt{3} \).
Найти: Объем пирамиды \( V \).
Чертеж:
(На чертеже: S - вершина пирамиды, ABC - основание, O - центр основания, SO - высота пирамиды.)
Решение:
Объем пирамиды вычисляется по формуле:
\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \]где \( S_{осн} \) - площадь основания, \( h \) - высота пирамиды.
1. Найдем площадь основания \( S_{осн} \).
Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной \( a \) вычисляется по формуле:
\[ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]Подставим значение \( a = 5 \):
\[ S_{осн} = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4} \]2. Теперь подставим найденную площадь основания и заданную высоту в формулу объема пирамиды.
Высота пирамиды \( h = \sqrt{3} \).
\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{25 \sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3} \] \[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{25 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{4} \] \[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{25 \cdot 3}{4} \] \[ V = \frac{25 \cdot 3}{3 \cdot 4} \]Сократим 3 в числителе и знаменателе:
\[ V = \frac{25}{4} \] \[ V = 6.25 \]Ответ: Объем пирамиды равен \( 6.25 \).