Задача 1: Построение векторов 1/3m + 2n и 3n - m (с рисунком)

Вариант 2 Задача 1. Для выполнения этого задания в тетради начертите два вектора \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\), выходящие из одной точки под углом друг к другу (например, \(\vec{m}\) длиной 3 клетки вправо, а \(\vec{n}\) длиной 2 клетки вверх и вправо). а) Чтобы построить \(\frac{1}{3}\vec{m} + 2\vec{n}\): 1. Отложите вектор, длина которого в 3 раза меньше \(\vec{m}\). 2. От его конца отложите вектор, направление которого совпадает с \(\vec{n}\), но длина в 2 раза больше. 3. Соедините начало первого вектора с концом второго по правилу треугольника. б) Чтобы построить \(3\vec{n} - \vec{m}\): 1. Отложите вектор \(3\vec{n}\) (в 3 раза длиннее \(\vec{n}\)). 2. От его конца отложите вектор \(-\vec{m}\) (противоположный вектору \(\vec{m}\)). 3. Результирующий вектор соединит начало \(3\vec{n}\) и конец \(-\vec{m}\). Задача 2. Дано: \(ABCD\) — квадрат, \(CP = PD\), \(O\) — точка пересечения диагоналей. \(\vec{x} = \vec{BA}\), \(\vec{y} = \vec{BC}\). Выразить: \(\vec{BO}\), \(\vec{BP}\), \(\vec{PA}\). Решение: 1) Точка \(O\) — середина диагонали \(AC\). По правилу параллелограмма: \[\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{BC} = \vec{x} + \vec{y}\] Так как \(O\) — середина \(BD\): \[\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BD} = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})\] 2) Точка \(P\) — середина \(CD\). Заметим, что \(\vec{CD} = \vec{BA} = \vec{x}\). \[\vec{BP} = \vec{BC} + \vec{CP} = \vec{BC} + \frac{1}{2}\vec{CD} = \vec{y} + \frac{1}{2}\vec{x}\] 3) Для вектора \(\vec{PA}\): \[\vec{PA} = \vec{PD} + \vec{DA} = \frac{1}{2}\vec{CD} + (-\vec{BC}) = \frac{1}{2}\vec{x} - \vec{y}\] Ответ: \(\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}\); \(\vec{BP} = \frac{1}{2}\vec{x} + \vec{y}\); \(\vec{PA} = \frac{1}{2}\vec{x} - \vec{y}\). Задача 3. Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция (\(AB=CD=8\) см), \(BC=7\) см, \(\angle A = 60^{\circ}\). Найти: среднюю линию \(L\). Решение: 1) Проведем высоты \(BH\) и \(CK\) к основанию \(AD\). 2) В прямоугольном треугольнике \(ABH\): \[AH = AB \cdot \cos(60^{\circ}) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см}\] 3) Так как трапеция равнобедренная, \(KD = AH = 4\) см. Отрезок \(HK = BC = 7\) см. 4) Нижнее основание \(AD = AH + HK + KD = 4 + 7 + 4 = 15\) см. 5) Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \[L = \frac{AD + BC}{2} = \frac{15 + 7}{2} = \frac{22}{2} = 11 \text{ см}\] Ответ: 11 см. Задача 4*. Дано: \(\triangle MNK\), \(O\) — точка пересечения медиан. \(\vec{MN} = \vec{x}\), \(\vec{MK} = \vec{y}\). \(\vec{MO} = k \cdot (\vec{x} + \vec{y})\). Найти \(k\). Решение: 1) Пусть \(M_1\) — середина стороны \(NK\). Тогда по свойству медианы треугольника: \[\vec{MM_1} = \frac{1}{2}(\vec{MN} + \vec{MK}) = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})\] 2) Точка пересечения медиан \(O\) делит медиану \(MM_1\) в отношении \(2:1\), считая от вершины \(M\). Следовательно: \[\vec{MO} = \frac{2}{3}\vec{MM_1}\] 3) Подставим выражение для \(\vec{MM_1}\): \[\vec{MO} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y}) = \frac{1}{3}(\vec{x} + \vec{y})\] 4) Сравнивая с условием \(\vec{MO} = k \cdot (\vec{x} + \vec{y})\), получаем \(k = \frac{1}{3}\). Ответ: \(k = \frac{1}{3}\).