Теорема Абеля: Формулировка

Теорема Абеля о сходимости степенных рядов Теорема Абеля устанавливает связь между поведением степенного ряда внутри его круга сходимости и в точках на границе этого круга. Формулировка: Если степенной ряд \[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n + \dots \] сходится в некоторой точке \( x_0 \), то он сходится (и притом абсолютно) для любого значения \( x \), удовлетворяющего условию: \[ |x| < |x_0| \] Следствие (Вторая теорема Абеля): Если степенной ряд сходится в точке \( x = R \) (где \( R \) — радиус сходимости), то сумма ряда \( S(x) \) является непрерывной функцией слева в этой точке, то есть: \[ \lim_{x \to R-0} S(x) = S(R) \] Это означает, что предел суммы ряда при приближении к границе интервала сходимости равен значению ряда в самой этой граничной точке.