Решение задачи: Преобразование тригонометрических выражений. Вариант 2

Хорошо, давайте решим все задания Варианта 2. Тема: Преобразование тригонометрических выражений. Вариант 2. Задание 1. Известно, что \( \cos \alpha = \frac{8}{17} \) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). Найдите значения трех других тригонометрических функций угла \( \alpha \). Решение: Так как \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), угол \( \alpha \) находится в первой четверти. В первой четверти все тригонометрические функции положительны. 1. Найдем \( \sin \alpha \). Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \) \( \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2 \) \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{64}{289} \) \( \sin^2 \alpha = \frac{289 - 64}{289} \) \( \sin^2 \alpha = \frac{225}{289} \) \( \sin \alpha = \sqrt{\frac{225}{289}} \) \( \sin \alpha = \frac{15}{17} \) (так как \( \alpha \) в первой четверти, \( \sin \alpha > 0 \)). 2. Найдем \( \text{tg} \alpha \). Используем определение тангенса: \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \). \( \text{tg} \alpha = \frac{\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}} \) \( \text{tg} \alpha = \frac{15}{8} \). 3. Найдем \( \text{ctg} \alpha \). Используем определение котангенса: \( \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) или \( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} \). \( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\frac{15}{8}} \) \( \text{ctg} \alpha = \frac{8}{15} \). Ответ: \( \sin \alpha = \frac{15}{17} \), \( \text{tg} \alpha = \frac{15}{8} \), \( \text{ctg} \alpha = \frac{8}{15} \). Задание 2. Упростите выражение: 1) \( 2 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 1 \) Решение: Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). \( 2 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 1 = \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 1 \) \( = \sin^2 \alpha + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 1 \) \( = \sin^2 \alpha + 1 - 1 \) \( = \sin^2 \alpha \) Ответ: \( \sin^2 \alpha \). 2) \( \cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha \) Решение: \( \cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha = \cos^2 \alpha - (\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha) \) Разложим выражение в скобках как разность квадратов: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \). \( \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) \) Так как \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \), то \( \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot 1 = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \) Подставим это обратно в исходное выражение: \( \cos^2 \alpha - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \) \( = \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \) \( = \sin^2 \alpha \) Ответ: \( \sin^2 \alpha \). 3) \( \text{tg}^2 \beta \cdot \text{ctg}^2 \beta - \cos^2 \beta \) Решение: Используем тождество \( \text{tg} \beta \cdot \text{ctg} \beta = 1 \). Тогда \( \text{tg}^2 \beta \cdot \text{ctg}^2 \beta = (\text{tg} \beta \cdot \text{ctg} \beta)^2 = 1^2 = 1 \). Подставим это в выражение: \( 1 - \cos^2 \beta \) Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \), откуда \( 1 - \cos^2 \beta = \sin^2 \beta \). \( = \sin^2 \beta \) Ответ: \( \sin^2 \beta \). Задание 3. Докажите тождество: 1) \( (1 - \sin^2 \alpha) \cdot \text{ctg}^2 \alpha + 1 - \text{ctg}^2 \alpha = \sin^2 \alpha \) Решение: Преобразуем левую часть тождества. Используем основное тригонометрическое тождество \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \). Левая часть: \( \cos^2 \alpha \cdot \text{ctg}^2 \alpha + 1 - \text{ctg}^2 \alpha \) Заменим \( \text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \). \( \cos^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + 1 - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \) \( = \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} + 1 - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \) Приведем к общему знаменателю \( \sin^2 \alpha \): \( = \frac{\cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \) В числителе вынесем \( \cos^2 \alpha \) за скобки из первых двух слагаемых: \( = \frac{\cos^2 \alpha (\cos^2 \alpha - 1) + \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \) Используем тождество \( \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha \). \( = \frac{\cos^2 \alpha (-\sin^2 \alpha) + \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \) \( = \frac{-\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \) Вынесем \( \sin^2 \alpha \) за скобки в числителе: \( = \frac{\sin^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha} \) Сократим \( \sin^2 \alpha \) (при условии, что \( \sin^2 \alpha \neq 0 \)): \( = 1 - \cos^2 \alpha \) Используем основное тригонометрическое тождество \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \). \( = \sin^2 \alpha \) Левая часть равна правой части. Тождество доказано. 2) \( \frac{1 - \sin \gamma}{\cos \gamma} = \frac{\cos \gamma}{1 + \sin \gamma} \) Решение: Докажем тождество, умножив обе части на \( \cos \gamma (1 + \sin \gamma) \) (при условии, что \( \cos \gamma \neq 0 \) и \( 1 + \sin \gamma \neq 0 \)). Или, что эквивалентно, перемножим "крест-накрест": \( (1 - \sin \gamma)(1 + \sin \gamma) = \cos \gamma \cdot \cos \gamma \) Левая часть: \( (1 - \sin \gamma)(1 + \sin \gamma) \) - это разность квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \). \( = 1^2 - \sin^2 \gamma \) \( = 1 - \sin^2 \gamma \) Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1 \), откуда \( 1 - \sin^2 \gamma = \cos^2 \gamma \). Правая часть: \( \cos \gamma \cdot \cos \gamma = \cos^2 \gamma \) Левая часть равна правой части: \( \cos^2 \gamma = \cos^2 \gamma \). Тождество доказано. Задание 4. С помощью формул сложения вычислите: 1) \( \sin 105^\circ \) Решение: Представим \( 105^\circ \) как сумму двух известных углов, например, \( 60^\circ + 45^\circ \). Используем формулу синуса суммы: \( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \). \( \sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ \) Известные значения: \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) Подставим значения: \( \sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \) \( = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \) Ответ: \( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \). 2) \( \cos 75^\circ \) Решение: Представим \( 75^\circ \) как сумму двух известных углов, например, \( 45^\circ + 30^\circ \). Используем формулу косинуса суммы: \( \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \). \( \cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ \) Известные значения: \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) Подставим значения: \( \cos 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \) \( = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} \) \( = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \) Ответ: \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \). Задание 5. Вычислите: 1) \( \sin 16^\circ \cos 29^\circ + \cos 16^\circ \sin 29^\circ \) Решение: Это выражение является правой частью формулы синуса суммы: \( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \). Здесь \( A = 16^\circ \) и \( B = 29^\circ \). \( \sin 16^\circ \cos 29^\circ + \cos 16^\circ \sin 29^\circ = \sin(16^\circ + 29^\circ) \) \( = \sin(45^\circ) \) Известное значение: \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). 2) \( \cos 74^\circ \cos 29^\circ + \sin 74^\circ \sin 29^\circ \) Решение: Это выражение является правой частью формулы косинуса разности: \( \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \). Здесь \( A = 74^\circ \) и \( B = 29^\circ \). \( \cos 74^\circ \cos 29^\circ + \sin 74^\circ \sin 29^\circ = \cos(74^\circ - 29^\circ) \) \( = \cos(45^\circ) \) Известное значение: \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).