Решение задач по тригонометрии, Вариант 2

Хорошо, давайте решим все задания из Варианта 2, используя методические указания. Тема: Преобразование тригонометрических выражений. Вариант 2. Задание 1. Известно, что \( \cos \alpha = \frac{8}{17} \) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). Найдите значения трех других тригонометрических функций угла \( \alpha \). Решение: Поскольку \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), угол \( \alpha \) находится в первой четверти, где все тригонометрические функции положительны. 1. Найдем \( \sin \alpha \) по основному тригонометрическому тождеству: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \) \( \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \) (берем положительное значение, так как \( \alpha \) в первой четверти) \( \sin \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{289 - 64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17} \) 2. Найдем \( \text{tg} \alpha \) по формуле \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \). \( \text{tg} \alpha = \frac{\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}} = \frac{15}{8} \) 3. Найдем \( \text{ctg} \alpha \) по формуле \( \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) или \( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} \). \( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\frac{15}{8}} = \frac{8}{15} \) Ответ: \( \sin \alpha = \frac{15}{17} \), \( \text{tg} \alpha = \frac{15}{8} \), \( \text{ctg} \alpha = \frac{8}{15} \). Задание 2. Упростите выражение: 1) \( 2 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 1 \) Решение: Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). \( 2 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 1 = \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 1 = \sin^2 \alpha + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 1 = \sin^2 \alpha + 1 - 1 = \sin^2 \alpha \) Ответ: \( \sin^2 \alpha \). 2) \( \cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha \) Решение: Вынесем \( \cos^2 \alpha \) за скобки в первых двух членах: \( \cos^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha) + \sin^4 \alpha \) Используем основное тригонометрическое тождество \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \): \( \cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha + \sin^4 \alpha \) Вынесем \( \sin^2 \alpha \) за скобки: \( \sin^2 \alpha (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) \) Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \): \( \sin^2 \alpha \cdot 1 = \sin^2 \alpha \) Ответ: \( \sin^2 \alpha \). 3) \( \text{tg}^2 \beta \cdot \text{ctg}^2 \beta - \cos^2 \beta \) Решение: Используем свойство \( \text{tg} \beta \cdot \text{ctg} \beta = 1 \). Тогда \( \text{tg}^2 \beta \cdot \text{ctg}^2 \beta = (\text{tg} \beta \cdot \text{ctg} \beta)^2 = 1^2 = 1 \). \( \text{tg}^2 \beta \cdot \text{ctg}^2 \beta - \cos^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta \) Используем основное тригонометрическое тождество \( 1 - \cos^2 \beta = \sin^2 \beta \): \( 1 - \cos^2 \beta = \sin^2 \beta \) Ответ: \( \sin^2 \beta \). Задание 3. Докажите тождество: 1) \( (1 - \sin^2 \alpha) \cdot \text{ctg}^2 \alpha + 1 - \text{ctg}^2 \alpha = \sin^2 \alpha \) Решение: Преобразуем левую часть тождества: \( (1 - \sin^2 \alpha) \cdot \text{ctg}^2 \alpha + 1 - \text{ctg}^2 \alpha \) Используем основное тригонометрическое тождество \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \): \( \cos^2 \alpha \cdot \text{ctg}^2 \alpha + 1 - \text{ctg}^2 \alpha \) Заменим \( \text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \): \( \cos^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + 1 - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \) Приведем к общему знаменателю \( \sin^2 \alpha \): \( \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \) В числителе вынесем \( \cos^2 \alpha \) за скобки из \( \cos^4 \alpha - \cos^2 \alpha \): \( \frac{\cos^2 \alpha (\cos^2 \alpha - 1) + \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \) Используем \( \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha \): \( \frac{\cos^2 \alpha (-\sin^2 \alpha) + \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{-\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \) Вынесем \( \sin^2 \alpha \) из числителя: \( \frac{\sin^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha} \) Сократим \( \sin^2 \alpha \) (при условии \( \sin \alpha \neq 0 \)): \( 1 - \cos^2 \alpha \) Используем основное тригонометрическое тождество \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \): \( \sin^2 \alpha \) Левая часть равна правой части, тождество доказано. 2) \( \frac{1 - \sin \gamma}{\cos \gamma} = \frac{\cos \gamma}{1 + \sin \gamma} \) Решение: Докажем тождество, умножив обе части на \( \cos \gamma (1 + \sin \gamma) \) (при условии \( \cos \gamma \neq 0 \) и \( 1 + \sin \gamma \neq 0 \)). \( (1 - \sin \gamma)(1 + \sin \gamma) = \cos \gamma \cdot \cos \gamma \) Используем формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \): \( 1^2 - \sin^2 \gamma = \cos^2 \gamma \) \( 1 - \sin^2 \gamma = \cos^2 \gamma \) Используем основное тригонометрическое тождество \( 1 - \sin^2 \gamma = \cos^2 \gamma \): \( \cos^2 \gamma = \cos^2 \gamma \) Левая часть равна правой части, тождество доказано. Задание 4. С помощью формул сложения вычислите: 1) \( \sin 105^\circ \) Решение: Представим \( 105^\circ \) как сумму двух известных углов: \( 105^\circ = 60^\circ + 45^\circ \). Используем формулу синуса суммы: \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \). \( \sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ \) Подставим известные значения: \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \) Ответ: \( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \). 2) \( \cos 75^\circ \) Решение: Представим \( 75^\circ \) как сумму двух известных углов: \( 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ \). Используем формулу косинуса суммы: \( \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \). \( \cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ \) Подставим известные значения: \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) \( \cos 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \) Ответ: \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \). Задание 5. Вычислите: 1) \( \sin 16^\circ \cos 29^\circ + \cos 16^\circ \sin 29^\circ \) Решение: Это выражение является правой частью формулы синуса суммы: \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \). Здесь \( \alpha = 16^\circ \) и \( \beta = 29^\circ \). \( \sin 16^\circ \cos 29^\circ + \cos 16^\circ \sin 29^\circ = \sin(16^\circ + 29^\circ) = \sin 45^\circ \) Известно, что \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). 2) \( \cos 74^\circ \cos 29^\circ + \sin 74^\circ \sin 29^\circ \) Решение: Это выражение является правой частью формулы косинуса разности: \( \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \). Здесь \( \alpha = 74^\circ \) и \( \beta = 29^\circ \). \( \cos 74^\circ \cos 29^\circ + \sin 74^\circ \sin 29^\circ = \cos(74^\circ - 29^\circ) = \cos 45^\circ \) Известно, что \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).