Задача 15
Условие: Точка \(H\) является основанием высоты \(BH\), проведённой из вершины прямого угла \(B\) в прямоугольного треугольника \(ABC\). Окружность с диаметром \(BH\) пересекает стороны \(AB\) и \(CB\) в точках \(P\) и \(K\) соответственно. Найдите \(BH\), если \(PK = 15\).
Рисунок:
Нарисуем прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом при вершине \(B\). Проведем высоту \(BH\) к гипотенузе \(AC\). Затем нарисуем окружность, для которой отрезок \(BH\) является диаметром. Эта окружность пересекает сторону \(AB\) в точке \(P\) и сторону \(CB\) в точке \(K\).
(Примечание: Вместо "example15.png" здесь должна быть ссылка на реальное изображение, которое вы сгенерируете или найдете. Я не могу генерировать изображения напрямую, поэтому использую заглушку.)
Решение:
1. Поскольку \(BH\) - диаметр окружности, то углы, опирающиеся на диаметр, являются прямыми. Значит, \(\angle BPH = 90^\circ\) и \(\angle BKH = 90^\circ\).
2. В прямоугольном треугольнике \(ABC\), высота \(BH\) делит его на два подобных треугольника: \(\triangle ABH \sim \triangle BCH \sim \triangle ABC\).
3. Рассмотрим четырехугольник \(BPHK\). У него \(\angle BPH = 90^\circ\), \(\angle BKH = 90^\circ\), а также \(\angle PBK = 90^\circ\) (так как это угол \(\angle ABC\) прямоугольного треугольника). Следовательно, \(BPHK\) - прямоугольник.
4. В прямоугольнике диагонали равны. Диагоналями являются \(BH\) и \(PK\). По условию, \(PK = 15\).
5. Так как \(BPHK\) - прямоугольник, то \(BH = PK\).
6. Таким образом, \(BH = 15\).
Ответ: \(BH = 15\).
***Задача 16
Условие: Окружность с центром на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) проходит через вершину \(C\) и касается прямой \(AB\) в точке \(B\). Найдите диаметр окружности, если \(AB = 1\), \(AC = 5\).
Рисунок:
Нарисуем треугольник \(ABC\). Отметим на стороне \(AC\) точку \(O\) - центр окружности. Окружность проходит через \(C\) и касается прямой \(AB\) в точке \(B\). Это означает, что радиус \(OB\) перпендикулярен \(AB\), то есть \(\angle OBA = 90^\circ\).
(Примечание: Вместо "example16.png" здесь должна быть ссылка на реальное изображение.)
Решение:
1. Пусть \(O\) - центр окружности, лежащий на \(AC\). Пусть \(R\) - радиус окружности.
2. Так как окружность касается прямой \(AB\) в точке \(B\), то радиус \(OB\) перпендикулярен \(AB\). Значит, \(\triangle OBA\) - прямоугольный с прямым углом при вершине \(B\).
3. Окружность проходит через вершину \(C\), поэтому \(OC = R\).
4. В прямоугольном треугольнике \(OBA\): \(OB = R\) (радиус окружности) \(AB = 1\) (дано) \(OA\) - гипотенуза. По теореме Пифагора: \(OA^2 = OB^2 + AB^2 = R^2 + 1^2 = R^2 + 1\).
5. Точка \(O\) лежит на отрезке \(AC\). Значит, \(AC = AO + OC\).
6. Мы знаем \(AC = 5\) и \(OC = R\). Подставим это в равенство: \(5 = AO + R\).
7. Выразим \(AO\) из этого равенства: \(AO = 5 - R\).
8. Теперь подставим \(AO = 5 - R\) в уравнение из теоремы Пифагора: \((5 - R)^2 = R^2 + 1\) \(25 - 10R + R^2 = R^2 + 1\)
9. Упростим уравнение: \(25 - 10R = 1\) \(10R = 25 - 1\) \(10R = 24\) \(R = \frac{24}{10} = 2.4\)
10. Нас просят найти диаметр окружности. Диаметр \(D = 2R\).
11. \(D = 2 \times 2.4 = 4.8\).
Ответ: Диаметр окружности равен \(4.8\).
***Задача 17
Условие: Окружность с центром на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) проходит через вершину \(C\) и касается прямой \(AB\) в точке \(B\). Найдите диаметр окружности, если \(AB = 2\), \(AC = 8\).
Рисунок:
Рисунок будет аналогичен предыдущей задаче. Нарисуем треугольник \(ABC\). Отметим на стороне \(AC\) точку \(O\) - центр окружности. Окружность проходит через \(C\) и касается прямой \(AB\) в точке \(B\). Это означает, что радиус \(OB\) перпендикулярен \(AB\), то есть \(\angle OBA = 90^\circ\).
(Примечание: Вместо "example17.png" здесь должна быть ссылка на реальное изображение.)
Решение:
1. Пусть \(O\) - центр окружности, лежащий на \(AC\). Пусть \(R\) - радиус окружности.
2. Так как окружность касается прямой \(AB\) в точке \(B\), то радиус \(OB\) перпендикулярен \(AB\). Значит, \(\triangle OBA\) - прямоугольный с прямым углом при вершине \(B\).
3. Окружность проходит через вершину \(C\), поэтому \(OC = R\).
4. В прямоугольном треугольнике \(OBA\): \(OB = R\) (радиус окружности) \(AB = 2\) (дано) \(OA\) - гипотенуза. По теореме Пифагора: \(OA^2 = OB^2 + AB^2 = R^2 + 2^2 = R^2 + 4\).
5. Точка \(O\) лежит на отрезке \(AC\). Значит, \(AC = AO + OC\).
6. Мы знаем \(AC = 8\) и \(OC = R\). Подставим это в равенство: \(8 = AO + R\).
7. Выразим \(AO\) из этого равенства: \(AO = 8 - R\).
8. Теперь подставим \(AO = 8 - R\) в уравнение из теоремы Пифагора: \((8 - R)^2 = R^2 + 4\) \(64 - 16R + R^2 = R^2 + 4\)
9. Упростим уравнение: \(64 - 16R = 4\) \(16R = 64 - 4\) \(16R = 60\) \(R = \frac{60}{16} = \frac{15}{4} = 3.75\)
10. Нас просят найти диаметр окружности. Диаметр \(D = 2R\).
11. \(D = 2 \times 3.75 = 7.5\).
Ответ: Диаметр окружности равен \(7.5\).