Тема: Первообразная функция и неопределенный интеграл.
Задача 1. Определение исходного состояния
Фармацевт наблюдает, как скорость растворения таблетки в воде постепенно уменьшается. Если мы знаем, как меняется скорость растворения со временем, что нам поможет понять, сколько вещества уже растворилось к определенному моменту?
Решение:
Чтобы понять, сколько вещества уже растворилось, зная скорость растворения, нам нужно "восстановить" исходное количество растворенного вещества. Это похоже на поиск первоначального состояния по его изменению.
Ответ: Нам поможет знание о том, как "восстановить" исходное количество вещества по его скорости изменения, то есть, по сути, найти первообразную функцию скорости растворения.
Тема: Вычисление определенных интегралов. Применение определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры, объемов тел.
Задача 2. Расчет общего объема
Фармацевт разрабатывает новую форму упаковки для лекарства. Ему нужно точно знать объем флакона, который имеет сложную, непрямоугольную форму. Как можно наиболее точно определить этот объем?
Решение:
Для определения объема сложной формы можно представить ее как сумму очень маленьких, простых объемов. Если мы можем описать форму математически, то сложение этих маленьких объемов даст нам точный общий объем.
Ответ: Можно использовать метод, который позволяет "сложить" бесконечно малые части объема, чтобы получить точный общий объем флакона.
Тема: Дифференциальные уравнения, их виды и решение.
Задача 3. Прогнозирование изменения концентрации
В организме пациента концентрация лекарства меняется со временем. Мы знаем, что скорость выведения лекарства зависит от его текущей концентрации. Как можно предсказать, какой будет концентрация лекарства через несколько часов, если мы знаем начальную концентрацию и правило, по которому она меняется?
Решение:
Если мы знаем, как скорость изменения концентрации связана с самой концентрацией, мы можем построить модель, которая описывает этот процесс. Решение такой модели позволит нам предсказать будущую концентрацию.
Ответ: Можно использовать математический подход, который описывает, как величина меняется в зависимости от самой себя, чтобы предсказать будущую концентрацию лекарства.
Тема: Вычисление пределов функций в точке и на бесконечности.
Задача 4. Оценка максимального эффекта
Фармацевт изучает, как доза лекарства влияет на его эффективность. Он замечает, что при увеличении дозы эффективность растет, но не бесконечно, а стремится к некоторому максимальному значению. Как можно описать это максимальное значение, к которому стремится эффективность?
Решение:
Это максимальное значение, к которому стремится эффективность при бесконечном увеличении дозы, называется пределом. Оно показывает, какой будет эффективность, если доза станет очень-очень большой.
Ответ: Это максимальное значение можно описать как "предел" эффективности, к которому она приближается при очень больших дозах.
Тема: Обоснование сходимости и расходимости рядов. Разложение функций в ряд Маклорена.
Задача 5. Проверка стабильности процесса
Фармацевт проводит серию измерений, и каждое последующее измерение добавляет новую информацию. Он хочет понять, будет ли сумма всех этих измерений (или их вкладов) в итоге стремиться к какому-то конечному, стабильному значению, или же она будет постоянно расти без ограничений. Как это можно проверить?
Решение:
Это можно проверить, изучив, является ли последовательность этих вкладов "сходящейся". Если она сходится, то общая сумма будет стремиться к конечному значению, что означает стабильность процесса. Если нет, то сумма будет расти бесконечно.
Ответ: Можно проверить, "сходится" ли сумма всех вкладов к конечному значению, что покажет стабильность процесса.