Конспект: Расстояние от точки до прямой. Перпендикуляр и наклонная

Тема: Расстояние от точки до прямой. Перпендикуляр и наклонная 1. Основные определения Пусть дана прямая \( a \) и точка \( A \), не лежащая на этой прямой. Перпендикуляром, опущенным из точки \( A \) на прямую \( a \), называется отрезок \( AB \), где точка \( B \) лежит на прямой \( a \) и угол между \( AB \) и \( a \) равен \( 90^\circ \). Точка \( B \) называется основанием перпендикуляра. Наклонной, проведенной из точки \( A \) к прямой \( a \), называется любой отрезок \( AC \), где \( C \) — произвольная точка прямой \( a \), отличная от \( B \). Точка \( C \) называется основанием наклонной. Отрезок \( BC \), соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, называется проекцией наклонной на прямую \( a \). 2. Свойства перпендикуляра и наклонной Если из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то: 1) Перпендикуляр короче любой наклонной: \[ AB < AC \] 2) Из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. Если \( BC_1 > BC_2 \), то \( AC_1 > AC_2 \). 3) Равным наклонным соответствуют равные проекции. Если \( AC_1 = AC_2 \), то \( BC_1 = BC_2 \). 3. Расстояние от точки до прямой Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Если точка лежит на самой прямой, то расстояние до прямой считается равным нулю. 4. Теорема Пифагора (для расчетов) В прямоугольном треугольнике \( ABC \), где \( AB \) — перпендикуляр (катет), \( BC \) — проекция (катет), а \( AC \) — наклонная (гипотенуза), выполняется соотношение: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] Отсюда можно найти длину наклонной: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \] Или длину перпендикуляра (расстояние): \[ AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} \]