Тестовые вопросы по теме "Дифференциальное исчисление"
Вопрос 1. Что такое производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\)?
- Значение функции в этой точке.
- Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
- Площадь под графиком функции.
- Наклон касательной к графику функции в этой точке.
Верный ответ: 2 и 4 (оба варианта верны, так как наклон касательной является геометрическим смыслом производной, а определение через предел - её основным определением).
Вопрос 2. Какое из следующих утверждений верно для производной суммы двух функций \(u(x)\) и \(v(x)\)?
- \((u(x) + v(x))' = u'(x) \cdot v'(x)\)
- \((u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)\)
- \((u(x) + v(x))' = u(x) \cdot v'(x) + u'(x) \cdot v(x)\)
- \((u(x) + v(x))' = \frac{u'(x)}{v'(x)}\)
Верный ответ: 2
Вопрос 3. Для чего используется производная при исследовании функций?
- Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции.
- Для определения интервалов возрастания и убывания функции, а также точек экстремума.
- Для построения таблицы значений функции.
- Для вычисления значения функции в конкретной точке.
Верный ответ: 2
Вопрос 4. Что такое экстремумы функции?
- Точки пересечения графика функции с осями координат.
- Точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение на некотором интервале (локальные максимумы и минимумы).
- Точки, в которых производная функции равна нулю.
- Точки, в которых функция не определена.
Верный ответ: 2 (хотя в точках экстремума производная часто равна нулю, это не всегда так, например, в точках излома, но определение экстремума связано именно с наибольшими/наименьшими значениями).
Вопрос 5. Если скорость изменения процесса описывается функцией \(v(t)\), то что позволяет найти производная этой функции \(v'(t)\)?
- Пройденное расстояние за время \(t\).
- Ускорение процесса в момент времени \(t\).
- Среднюю скорость процесса.
- Начальную скорость процесса.
Верный ответ: 2