Решение алгебраического уравнения в R

Решение алгебраического уравнения в \(R\) (множестве действительных чисел) Давайте разберем, как решать алгебраические уравнения. Мы будем следовать пошаговому плану, чтобы всё было понятно и логично. Шаг 1: Понимание алгебраического уравнения Алгебраическое уравнение — это математическое выражение, которое содержит переменные (обычно обозначаемые буквами, например, \(x\)), числа и знаки математических операций (сложение, вычитание, умножение, деление). Цель решения уравнения — найти значения переменной, при которых уравнение становится верным равенством. Пример: \(2x + 5 = 11\) Шаг 2: Основные принципы решения уравнений Чтобы решить уравнение, мы используем следующие принципы: 1. **Принцип равновесия:** Что бы мы ни делали с одной стороной уравнения, то же самое нужно сделать и с другой стороной, чтобы сохранить равенство. 2. **Изоляция переменной:** Наша цель — "изолировать" переменную, то есть оставить её одну на одной стороне уравнения. Шаг 3: Пошаговое решение уравнения (пример) Давайте решим уравнение: \(3x - 7 = 8\) 1. **Переносим все члены без переменной на одну сторону.** Чтобы избавиться от \(-7\) на левой стороне, мы прибавим \(7\) к обеим сторонам уравнения. \[3x - 7 + 7 = 8 + 7\] \[3x = 15\] 2. **Изолируем переменную, разделив обе стороны на коэффициент при переменной.** Коэффициент при \(x\) — это \(3\). Разделим обе стороны на \(3\). \[\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}\] \[x = 5\] Шаг 4: Проверка решения Всегда полезно проверить свое решение, подставив найденное значение переменной обратно в исходное уравнение. Исходное уравнение: \(3x - 7 = 8\) Подставляем \(x = 5\): \[3 \cdot 5 - 7 = 8\] \[15 - 7 = 8\] \[8 = 8\] Так как обе стороны равны, наше решение \(x = 5\) является верным. Шаг 5: Решение более сложных уравнений Иногда уравнения могут быть более сложными, например, содержать скобки или переменные с обеих сторон. Пример: \(4(x + 2) - 3 = 2x + 11\) 1. **Раскрываем скобки.** Умножаем \(4\) на каждый член в скобках: \[4x + 4 \cdot 2 - 3 = 2x + 11\] \[4x + 8 - 3 = 2x + 11\] \[4x + 5 = 2x + 11\] 2. **Собираем все члены с переменной на одной стороне, а числа — на другой.** Вычтем \(2x\) из обеих сторон, чтобы собрать \(x\) на левой стороне: \[4x - 2x + 5 = 2x - 2x + 11\] \[2x + 5 = 11\] Теперь вычтем \(5\) из обеих сторон, чтобы собрать числа на правой стороне: \[2x + 5 - 5 = 11 - 5\] \[2x = 6\] 3. **Изолируем переменную.** Разделим обе стороны на \(2\): \[\frac{2x}{2} = \frac{6}{2}\] \[x = 3\] Шаг 6: Проверка решения (для сложного уравнения) Исходное уравнение: \(4(x + 2) - 3 = 2x + 11\) Подставляем \(x = 3\): \[4(3 + 2) - 3 = 2 \cdot 3 + 11\] \[4(5) - 3 = 6 + 11\] \[20 - 3 = 17\] \[17 = 17\] Решение верное. Важные моменты: * **Порядок операций:** При раскрытии скобок и упрощении выражений всегда помните о порядке математических операций (скобки, умножение/деление, сложение/вычитание). * **Знаки:** Будьте внимательны со знаками при переносе членов через знак равенства. Если член переносится, его знак меняется на противоположный. * **Действительные числа (R):** В данном случае мы ищем решения, которые являются действительными числами. Это означает, что мы не будем сталкиваться с квадратными корнями из отрицательных чисел или делением на ноль. Следуя этим шагам, вы сможете уверенно решать большинство алгебраических уравнений в множестве действительных чисел.