Решение задачи: Определение центра тяжести

1. Определение центра тяжести Центром тяжести системы материальных точек называется геометрическая точка, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы этой системы при любом её положении в пространстве. Для неоднородного тела центр тяжести — это точка, положение которой зависит как от геометрической формы тела, так и от распределения плотности внутри него. Способы определения центра тяжести однородных тел: 1. Геометрический (метод симметрии): у тел, имеющих центр, ось или плоскость симметрии, центр тяжести совпадает с этим элементом симметрии. 2. Метод разбиения: сложное тело разбивают на простые части, центры тяжести которых известны. 3. Метод отрицательных масс (метод дополнения): используется для тел с вырезами или отверстиями. 4. Экспериментальный (метод подвешивания): тело последовательно подвешивают за разные точки; центр тяжести находится на пересечении вертикальных линий отвеса. 2. Решение задачи Дано: Радиус диска \( R = 0,5 \) м Радиус отверстия \( r = 0,1 \) м Координаты центра диска \( O(0; 0) \) Координаты центра отверстия \( C_2(-0,25; -0,25) \) Найти: Координаты центра тяжести системы \( X_c, Y_c \) — ? Решение: Воспользуемся методом отрицательных масс. Представим диск с отверстием как совокупность целого диска с положительной массой и малого диска (на месте отверстия) с отрицательной массой. Так как диск однородный, массы пропорциональны площадям: Площадь целого диска: \[ S_1 = \pi R^2 = \pi \cdot 0,5^2 = 0,25\pi \] Площадь отверстия: \[ S_2 = \pi r^2 = \pi \cdot 0,1^2 = 0,01\pi \] Координаты центра тяжести целого диска: \( x_1 = 0, y_1 = 0 \). Координаты центра отверстия: \( x_2 = -0,25, y_2 = -0,25 \). Формулы для координат центра тяжести: \[ X_c = \frac{S_1 x_1 - S_2 x_2}{S_1 - S_2} \] \[ Y_c = \frac{S_1 y_1 - S_2 y_2}{S_1 - S_2} \] Подставим значения для \( X_c \): \[ X_c = \frac{0,25\pi \cdot 0 - 0,01\pi \cdot (-0,25)}{0,25\pi - 0,01\pi} = \frac{0,0025\pi}{0,24\pi} = \frac{0,0025}{0,24} \approx 0,0104 \text{ м} \] Так как координаты отверстия по \( x \) и \( y \) одинаковы, то: \[ Y_c = X_c \approx 0,0104 \text{ м} \] Ответ: центр тяжести находится в точке с координатами \( (0,0104; 0,0104) \) м. 3. Чертёж (описание для тетради) Для выполнения чертежа в тетради: 1. Начертите оси координат \( X \) и \( Y \). 2. Из начала координат \( O(0,0) \) циркулем проведите окружность радиусом 5 см (масштаб 1:10, где 0,1 м = 1 см). Это основной диск. 3. Отметьте точку \( C_2 \) с координатами \(-2,5\) см по оси \( X \) и \(-2,5\) см по оси \( Y \) (третья четверть). 4. Из точки \( C_2 \) проведите малую окружность радиусом 1 см. Это отверстие. 5. Точка центра тяжести \( C \) будет лежать на линии, соединяющей \( O \) и \( C_2 \), но с противоположной стороны от центра \( O \) (в первой четверти), очень близко к началу координат (примерно 1 мм от центра). Отметьте её и подпишите \( C \).